算法导论第三版-思考题2-1

在合并排序中对小数组采用插入排序，代码如下：

#include<iostream>#include<time.h>using namespace std;int* Insert_sort(int A[],int B[],int p,int q,int r);void Merge(int A[],int p,int q,int r);void Merge_sort(int A[],int p,int r,int k);void main(){      clock_t start,finish;      int duration;      //测量一个事件持续的时间      start=clock();            const int n=10;      int a[n],i;      srand((unsigned)time(NULL));      for(i=0;i<n;i++)      {            a[i]=rand()%101;      }      cout<<"排序前:"<<endl;      for(i=0;i<n;i++)      {             cout<<a[i]<<" ";      }      cout<<endl;      Merge_sort(a,0,n,2);//K值应该最大为此数组元素个数的一半      cout<<"排序后:"<<endl;      for(i=0;i<n;i++)      {            cout<<a[i]<<" ";      }      cout<<endl;      finish=clock();      duration=(int)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC;      printf("%f seconds\n",duration);}void Merge(int A[],int p,int q,int r){      int n1=q-p+1,n2=r-q,i,j,flag=-1;      int *L=new int[n1];      int *R=new int[n2];      L=Insert_sort(A,L,p,q,n1);      R=Insert_sort(A,R,q+1,r,n2);      i=0;j=0;      L[n1]=flag;      R[n2]=flag;      for(int k=p;k<=r;k++)      {            if(L[i]==flag)            {                  A[k]=R[j];                  j++;                       }            else if(R[j]==flag)            {                  A[k]=L[i];                  i++;            }             else if (L[i]>=R[j])          {              A[k]=L[i];              i++;          }          else           {              A[k]=R[j];              j++;          }        }}int *Insert_sort(int A[],int B[],int p,int q,int r){      int key;      for(int i=p,j=0;i<=q,j<r;i++,j++)      {            B[j]=A[i];      }      for(int j=2;j<=r;j++)      {             key=B[j-1];             int i=j-1;             while(i>0&&B[i-1]<key)//a[i-1]<key 变为降序排列             {                   B[i]=B[i-1];                   i--;             }             B[i]=key;      }      return B;}void MERGE_SORT(int A[],int p,int r,int k)  {      int q=(p+r)/k;//q=(p+r)/k      if((q-p+1)<=k)//子数组长度≤k的时候就不再进行划分，而是对该子数组进行插入排序          {             //当p=0时，有k<=r/k =>k<=√r kmax=√r kmin=2         return;      }       else      {          MERGE_SORT(A,p,q,k);          MERGE_SORT(A,q+1,r,k);          MERGE(A,p,q,r);      }  }  

a)插入排序时间复杂度O(n^2)对于长度为k的子列表都有O(k^2),则n/k个为(k^2)*n/k=O(nk)

b)由于有n/k个子列表，那么共有log(n/k)+1层。每一层的代价是O(n)，因此总共的时间复杂度为O(nlog(n/k))；

c).标准的合并算法时间复杂度为O(nlog(n))，要使修改后的算法具有与标准合并排序算法一样的渐进运行时间，k的最大渐进值是logn，原来时间复杂度为O(nk + nlog(n/k))，现在变为了O(nlogn + nlog(n/logn))，忽略nlog(n/logn)的影响，这样即为O(nlogn)；

d)在实践中，k的值应为：当p=0时，有k<=r/k  k<=√r  kmax=√r  kmin=2