算法导论第三版第七章思考题

7-1

a.

（1） 初始时，x=A[1]=13,i=0,j=13;
（2） 令j=j−1=12，A[12]>x，故继续令j=j−1=11,A[11]<x；令i=i+1=1,A[1]≥x。交换A[1]和A[11]得到A1={6,19,9,5,12,8,7,4,11,2,13,21}；
（3） 令j=j−1=11,A[11]<x；令i=i+1=2,A[2]>x。交换A[2]和A[11]得到A2={6,2,9,5,12,8,7,4,11,19,13,21}；
（4） 令j=j−1=9,A[9]<x;接下来令i=3到9，都有A[i]≤x，直到i=10,A[i]=19>x。此时i>j，故可以直接返回j=9，得到的序列为A2={6,2,9,5,12,8,7,4,11,19,13,21}。

b.

1. 如果子数组以升序互不相同的元素排列，那么将重复j=j−1直到j=1，然后将进行一次i=i+1=1，然后就会直接返回j=1，j最小只能访问到A[1]，不会访问子数组以外的数；
2. 无论如何首先j肯定至少进行一次j=j−1=r=12，然后因为x=A[p]，所以第一次i=i+1=p，然后就得停止。交换A[j]和A[i]之后i<j，所以至少还得进行一次j=j−1，所以j最大只能取到r-1$。
3. 因为至少会进行一次i=i+1，所以i最小只能访问A[p]；而且因为A[j..r]之间每个元素都大于等于x，所以重复i=i+1时，最多只能使i=j+1，所以i最大只能访问到A[r]不会超出子数组A[p..r]的范围。

c.

根据上面b小问的分析即可得知。

d.

从算法第5行到第7行知，每次循环中A[j+1..r]≥x，从第8行到第10行可知，A[p...j]≤x。每次循环中，若i<j，则交换A[i]与A[j]，然后继续j的递减和i的递增，保持了A[p..j]≤x和A[j+1..r]>x，所以A[j+1..r]≥x，且A[p..j]≤x，所以对于A[p..j]中的每个元素都小于或等于A[j+1..r]中的元素。

e.

QUICKSORT(A,p,r)1 if p < r2   q = HOARE-PARTITION(A,p,r)                                 3   QUICKSORT(A,p,q)4   QUICKSORT(A,q+1,r)

7-2

a.

此时算法的随机性完全没有影响，算法的时间复杂度为O(n2)。

b.

PARTITION_1(A,p,r)1  x = A[r]2  i = p3  t = r4  j = p5  while j <= t6    if A[j] > x7      exchange A[j] with A[t]8      t = t - 19    else if A[j] < x10     exchange A[i] with A[j]11     i = i + 112     j = j + 113   else j = j + 114 return i and j

c.

RANDOMIZED-PARTITION_1(A, p, r)1 i = RANDOM(p, r)2 exchange A[r] with A[i]3 return PARTITION_1(A, p, r)RANDOMIZED-QUICKSORT(A, p, r)1 if p < r2   int[] q = RANDOMIZED-PARTITION_1(A, p, r)3   if q[1] == p and q[2] = r4     return5   RANDOMIZED-PARTITION_1(A, p, q[1] - 1)6   RANDOMIZED-PARTITION_1(A, q[2] + 1, r)

d.

直接将Zij={zi,zi+1,⋯,zj}中zi定义为数组A中第i小的元素中的一个，则

Pr{zi与zj进行比较}=nzinij+nzjnij≤2j−i+1

后面的分析是一样的。

7-3

a.

P(Xi)=1n，所以E[Xi]=P(Xi)=1n

b.

首先PARTITION过程的运行时间为Θ(n)，然后当主元为第i小的元素时，问题被分为规模分别为q−1和n−q的两个子问题，运行时间分别为T(q−1)和T(n−1)，所以

E[T(n)]=E[∑q=1nXq(T(q−1)+T(n−q)+Θ(n))]

c.

E[T(n)]=E[∑q=1nXq(T(q−1)+T(n−q)+Θ(n))]=∑q=1nE(Xq)E[T(q−1)+T(n−q)+Θ(n)]=∑q=1n1nE[T(q−1)]+∑q=1n1nE[T(n−q)]+∑q=1n1nΘ(n)=1n∑q=2n−1E[T(q)]+1n∑q=0n−1E[T(q)]+Θ(n)=2n∑q=2n−1E[T(q)]+1n{E[T(0)]+E[T(1)]}+Θ(n)=2n∑q=2n−1E[T(q)]+Θ(n)

d.

∑k=2n−1klgk=∑k=2⌈n/2⌉−1klgk+∑k=⌈n/2⌉n−1klgk≤∑k=1n/2klgn2+∑k=n/2n−1klgn=lgn2⋅n2+2n8+lgn⋅3n2−2n8=n28lgn2+38n2lgn+n4lgn2−n4lgn≤n28lgn−n28lg2+38n2lgn=n22lgn−n28

e.

假设对于某个正常数a和足够大的n，有E[T(n)]≤anlgn：

E[T(n)]=2n∑q=2n−1E[T(q)]+Θ(n)≤2n∑q=2n−1aq⋅lgq+Θ(n)≤2an(n22lgn−n28)+Θ(n)≤anlgn−an4+Θ(n)≤anlgn

最后一步去适当的a使得an4−Θ(n)<0即可。故E[T(n)=Θ(nlgn)。

7-4

a.

算法前面和快速排序是一样的，调用PARTITION后，递归调用了左边的子数组；然后通过将p=q+1，并经过循环，对右边的子数组进行了快速排序操作，与递归调用快速排序是一样的，所以能正确的对数组A进行排序。

b.

当数组本身就是按升序排列的，那么每次PARTITION操作后，左边的数组大小都只比原先的小一，所以一共会递归调用n次，即栈深度为Θ(n)。

c.

TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT(A, p, r)1 while p < r2   q = PARTITION(A, p, r)3   if q <=  (r+p)/24     TAIL-RECUISIVE-QUICKSORT(A, p, q-1)5     p = q + 16   else7     TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT(A, q + 1, r)8     r = q

7-5

a.

pi=A33(i−1)(n−i)n(n−1)(n−2)=6(i−1)(n−i)n(n−1)(n−2)

b.

px1/n=6(n2−1)(n−n2)(n−1)(n−2)=3n(n−2)2(n−1)(n−2)

当n→∞时，上式等于32，所以增加了1/2倍。

c.

三数取中法的好划分概率为

P′=∑i=n/32n/3pi≈∫2n3n36(i−1)(n−i)n(n−1)(n−2)di=13n27(n−2)

平凡实现为

P=2n/3−n/3n=13

当n→∞时，

P′/P=13/9

增加了4/9倍。

d.

不知道。。。

7-6

不会。。。