莫比乌斯反演

初学莫比乌斯反演
先膜一发高神：orz Gay神

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莫比乌斯反演
有两种形式。。。

第一种：

如果我们有函数f(x)，以及g(x)，并且有：

g(x)=∑d|xf(x)

那么，我们就有：

f(x)=∑d|xμ(xd)g(x)

具体的证明嗷。。。
参考《具体数学》第4章（貌似是公式4.56）

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第二种：

如果我们有函数f(x)，以及g(x)，并且有：

g(x)=∑x|dnf(x)

其中n是我们限定的一个范围
那么，我们可以得到：

f(x)=∑x|dnμ(nd)g(d)

证明和上面那个其实是类似的

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至于μ函数，叫做莫比乌斯函数
他本身的定义是：

∑d|xμ(d)=[x==1]

说成人话就是：
μ(1)=1，而往后面的所有μ(x) (x>1)
都有

μ(x)=−∑d|x且d≠xμ(d)

还是看不懂吧。。（我也不懂。。）
还是写个简单点的形式。。。

这种是一种讨论的形式
①x=p1p2p3...pn 此时μ(x)=(−1)n
②x=p2⋅d 此时μ(x)=0
③x=1 μ(x)=1

剩下的，就是怎么运用的问题啦。。。