并查集(union-find sets)
来源:互联网 发布:java linux 文件权限 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 07:27
一.并查集及其优化
- 并查集:由若干不相交集合组成,是一种简单但是很好用的数据结构,拥有优越的时空复杂性,一般用于处理一些不相交集合的查询和合并问题。
- 三种操作:
1.Make_Set(x) 初始化操作,初始化的时候,每个结点各自为一个集合,这个时候father[i]=i,即此时这个结点就是这个集合的根结点,也就是它本身。
2.Find_Set(x) 查找操作,其具体功能就是找到x这个元素所在集合的根结点。可以用来判断两个结点是否在同一个集合,如果根结点不同自然就不再同一个集合中。
3.Union(x,y) 合并操作,将连个元素合并到同一个集合当中,在合并之前,一般利用Find_Set()来判断是否在同一个集合当中。
如图为合并操作:
并查集的优化方法(改进时间的启发式策略)
1 路径压缩(Path Compression)是一种在每次使用“ 查找”(Find_Set)时压扁树结构的方法。在查找过程中将查找路径上所有结点都指向根结点,把所有访问过的结点直接链接到根,这样可以减少将来的查找时间。可以想象,如果树比较极端,退化成一条链了,那么在最坏的时候每次查询都达到了O(n),而路径压缩就可以提高效率。
而且,路径压缩并不改变任何节点的秩,但是会改变子树的高度.具体如下图所示:
- 2 按秩合并(Union by rank)其思想是把包含较少节点的树的根指向包含较多节点的树的根,将较短的树连接到较高的树的根部,这样可以降低树的高度。
这里需要使用一个Rank来记录秩的变化,每一个结点都有对应的一个Rank,,最初的集合中只有一个根结点,以及一个为0的Rank(秩)。在这里秩只是表示结点高度的一个上界。秩用来代替了高度或者深度,这是因为路径压缩会改变树的高度,所以不记录子树的高度的准确值,而是采用上界这样一个估计值来表示。
具体如下图所示:
代码实现:
#define MAX 5000int n, m, Father[MAX], Rank[MAX];void Make_Set(int x){ Father[x] = x; Rank[x] = 0;}int Find_Set(int x) { //递归写法,数据量比较少的时候可以写 return Father[x] == x ? x : Father[x] = Find_Set(Father[x]); }int Find_Set(int x){ //递归写法,数据极端容易RE,可能栈溢出。默认堆栈的大小为8192KB. if (x != Father[x]) Father[x] = Find_Set(Father[x]); return Father[x];}int Find_Set(int x) //非递归写法,适合数据量比较大的时候{ int p = x, temp; while (Father[p] != p) p = Father[p]; while (x != p) { temp = Father[x]; Father[x] = p; x = temp; } return x;}void Union(int x, int y) //按秩合并{ x = Find_Set(x); y = Find_Set(y); if (x == y) return; if (Rank[x] > Rank[y]) /*如果x的Rank比较高,就把x作为y的父节点*/ { father[y] = x; Rank[x] += Rank[y]; } else { father[x] = y; if (Rank[x] == Rank[y]) { Rank[y]++; } }}
- 时间复杂度的考虑
有几种情况,即是否使用路径压缩(Path Compression)和按秩合并(Union by rank)的四种情况,如果不使用优化手段,树可以无限制的增长,这样查找和合并的时间就是O(n).
只是使用路径压缩(Path Compression)的话,最坏的时间就是
只是使用按秩合并(Union by rank)的话,时间可以达到O(mlog n),其中n为结点数目。
当同时使用的时候。可以确保每个操作分摊下来的时间是O(α(n)),这是最优的,
这个α(n)是 inverse Ackermann function(逆阿克曼函数),当我们现在宇宙中的任何n值,可以得知α(n)<5,所以并查集运算基本恒定。
详细参考:维基百科
二.并查集基本应用
从题目开始:HDU1232 畅通工程 - 题目分析:建设最少的道路,使得所有城镇都相互交通,但不一定有直接的道路相连,只要互相间接通过道路可达即可。
- 换句话说,这里就是在求有几个不相交的集合数,更准确就是求这个无向图的连通分量个数
AC代码如下:
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstdbool>#include<algorithm>using namespace std;#define MAX 1005int Father[MAX];void init(){ for (int i = 1; i < MAX; i++) Father[i] = i;}int Find_Set(int x){ //递归写法,数据量比较少的时候可以写 return Father[x] == x ? x : Father[x] = Find_Set(Father[x]);}void Union(int x, int y){ x = Find_Set(x), y = Find_Set(y); if (x != y) Father[x] = y;}int main(void){ int m, n, t1, t2; while (scanf("%d", &n) != EOF) { if (n == 0) break; scanf("%d",&m); init(); while (m-- > 0) { scanf("%d%d",&t1,&t2); Union(t1, t2); } int ans = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (Father[i] == i) ans ++; } printf("%d\n",ans - 1); }}
下面是使用了按秩合并的写法:
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstdbool>#include<algorithm>using namespace std;#define MAX 1005int Father[MAX], Rank[MAX];void init(){ for (int i = 1; i < MAX; i++) Father[i] = i;}int Find_Set(int x){ //递归写法,数据量比较少的时候可以写 return Father[x] == x ? x : Father[x] = Find_Set(Father[x]);}void Union(int x, int y) //按秩合并{ x = Find_Set(x); y = Find_Set(y); if (x == y) return; if (Rank[x] > Rank[y]) /*如果x的Rank比较高,就把x作为y的父节点*/ { Father[y] = x; Rank[x] += Rank[y]; } else { Father[x] = y; if (Rank[x] == Rank[y]) { Rank[y]++; } }}int main(void){ int m, n, t1, t2; while (scanf("%d", &n) != EOF) { if (n == 0) break; scanf("%d",&m); init(); while (m-- > 0) { scanf("%d%d",&t1,&t2); Union(t1, t2); } int ans = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (Father[i] == i) ans ++; } printf("%d\n",ans - 1); }}
三.带权并查集
- 带权并查集,是指结点存有权值信息的并查集。并查集以森林的形式存在, 而结点的权值大多是记录该结点与祖先关系的信息。
比如权值可以记录该结点到根结点的距离,也可以是相对于根节点的状态。
1.食物链(POJ1182)这道题是十分经典的关于带权并查集的题目,就是维护当前结点和根结点关系。
- 题目分析:有三种动物,存在互相吃与被吃的关系,A吃B, B吃C,C吃A。现在给定K句话,这些话中有真有假,现在需要判断其中假话的个数。
- 一种思路,通过并查集来将所有同时出现的情况都合并到一起,如果1能吃掉2,那么只有三种情况:
- 1是A,2是B
- 1是B,2是C
1是C,2是A
然后把 1是A 和 2是B 的情况合并到一起,同理对于剩下两种情况 ,这样处理之后,如果之后又加入了一句话发现 2是B 和 2是A的情况在一个集合中,那么就一定判断这句话是假的了。之后发现有更好的方法:这里的难点就在于不知道具体是什么动物。
虽然不知道每个数字对应的动物,但是可以知道动物之间的关系。那么就可以把已知关系的点合并在一棵树上,然后记录每个点与根结点的关系。这里采用的规则如下:
如果一个点和根结点的相同那么关系记为 0,
如果一个点可以吃掉根结点那么关系记为 1,
如果一个点可以被根结点吃掉那么关系记为 2。
我们只要一直维护每个点与根结点的关系,这样我们就可以判断某一个描述是否与之前的描述冲突了。
具体而言,在判断X,Y的关系的时候,找出X,Y的根结点A,B
如果A!=B,则X,Y还没有建立联系,此时关于这两个元素的判断都可以认为是对的。之后需要合并这两个子树,具体关系如下图所示这里的式子
要满足(reltion[x] + t) % 3 = (d + relation[y]) % 3,所以 t = (d + relation[y] - relation[x] + 3) % 3,满足这一个条件,既可以判断这句话正确性。
如果A==B,说明存在关系,这个时候需要判断是否正确,通过求和取模的关系,这个是通过找规律得来, 需要写出一些情况来合理推断。AC代码
#include <map>#include <iostream>#include<cstdio>using namespace std;int father[500999];int relation[500099];void Make_Set(int n){ for (int i = 1; i <= n; i++) { father[i] = i; relation[i] = 0; }}int Find_Set(int x){ if (father[x] == x) return x; else { int t = father[x]; father[x] = Find_Set(father[x]); relation[x] = (relation[t] + relation[x]) % 3; return father[x]; }}int main(){ int i, flag = 0, N, K, D, X, Y, A, B; int res; scanf("%d", &N); Make_Set(N); scanf("%d",&K); for (i = 0; i < K; i++) { scanf("%d%d%d",&D,&X,&Y); if ((X > N) || (Y > N) || X == Y && D == 2) { flag++; } else { A = Find_Set(X); B = Find_Set(Y); if (A != B) { father[B] = A; relation[B] = (D - 1 + relation[X] - relation[Y] + 3) % 3; } else { if ((relation[Y] - relation[X] + 3) % 3 != D - 1) flag++; } } } printf("%d\n",flag); }
2.再比如这道题:POJ1703 Find them, Catch them
- 题目分析:有两个帮派,给若干条信息,根据所给信息来判断所询问的两个人是否是同一个帮派。信息包括D [a] [b], 其中[a]和[b]是两个罪犯的标号,他们属于不同的帮派。 A[a][b],这是询问是否ab在同一个集合。
- 思路:这里明显可以使用并查集,但是给的信息是不同集合的,而并查集是保存同一个集合,所以单纯的并查集是不行了,故增加一个flag,来标记当前结点和根结点的关系,用一个并查集来维护所有的结点。在这里,我使用的规则是:如果当前结点和根结点是一个集合则标记为0,否则为1。
这样只要一直维护每个点与根结点的关系,就可以判断某一个询问的两个人是否在同一个帮派。 - 注意:这里有一个特例,就是一共只有两个人的时候,他们是在不同帮派的。
- 关系转移为在Find_Set()的时候和上一层父亲节点的flag相加,需要查找规律得出。
- AC代码如下:
#include<iostream>#include<cstdio>#define MAX 100005using namespace std;int father[MAX], flag[MAX];void Make_Set(int n){ for (int i = 1; i <= n; i++) { father[i] = i; flag[i] = 0; }}int Find_Set(int x){ if (father[x] == x) return x; else { int t = father[x]; father[x] = Find_Set(father[x]); flag[x] = (flag[t] + flag[x]) % 2; //状态转移,0和1分别代表是一个集合,不是一个集合的状态 return father[x]; //当前结点的状态等于前面两个结点的状态的叠加态 }}void Union(int a, int b){ int x = Find_Set(a); int y = Find_Set(b); father[x] = y; flag[x] = (flag[b] + flag[a] + 1 ) % 2; //状态转移,0和1分别代表是一个集合,不是一个集合的状态}int main(void){ char check; int T, M, N, mem1, mem2, t1, t2; scanf("%d",&T); while (T-- > 0) { scanf("%d %d",&N,&M); Make_Set(N); while(M-->0) { getchar();//之前有个换行需要接受,否则WA scanf("%c %d %d",&check, &mem1, &mem2); if (N == 2 && check=='A') //特殊样例 { printf("In different gangs.\n"); } else if (check == 'D') { Union(mem1, mem2); } else { t1 = Find_Set(mem1); t2 = Find_Set(mem2); if (t1 != t2) { printf("Not sure yet.\n"); } if (t1 == t2) { if(flag[mem1] != flag[mem2]) printf("In different gangs.\n"); else printf("In the same gang.\n"); } } } } return 0;}
3.POJ2492 A Bug’s Life
- 题目分析:假设所有bug只能异性之间交配,出现同性则错误
- 思路:同样使用带权并查集,用flag表示当前结点和根结点的相对关系,两个虫子如果是异性,则一个为0,一个为1,用第一个关系为依据,后面的虫子逐渐更新和根结点的关系,如果发现某两个虫子的flag相同,则为错误信息。
- 合并x,y的关系式为:
flag[b] = (flag[x] - flag[y] + 1) % 2,
flag[b] = (flag[x] - flag[y] + 1) % 2,
其中,a是x的根结点,b是y的根结点。 - AC代码如下:
#include<iostream>#include<cstdio>#define MAX 100005using namespace std;int father[MAX], flag[MAX], Rank[MAX];void Make_Set(int n){ for (int i = 1; i <= n; i++) { father[i] = i; flag[i] = 0; Rank[i] = 0; }}int Find_Set(int x){ if (father[x] == x) return x; else { int t = father[x]; father[x] = Find_Set(father[x]); flag[x] = (flag[t] + flag[x]) % 2; //状态转移,0和1分别代表是一个集合,不是一个集合的状态 return father[x]; //当前结点的状态等于前面两个结点的状态的叠加态 }}void Union(int x, int y){ int a = Find_Set(x); int b = Find_Set(y); if (a == b) return; if (Rank[a] > Rank[b]) //按秩合并 { father[b] = a; Rank[a] += Rank[b]; flag[b] = (flag[x] - flag[y] + 1) % 2; } else { if (Rank[a] == Rank[b]) { Rank[b]++; } father[a] = b; flag[a] = (flag[y] - flag[x] + 1) % 2; }}int main(void){ int n, m, T, gg, mm, ans; scanf("%d",&T); for(int i=1;i<=T;i++) { ans = 0; scanf("%d %d",&n,&m); Make_Set(n); while (m-- > 0) { scanf("%d %d",&gg,&mm); Union(gg, mm); if (flag[gg] == flag[mm] && father[gg] == father[mm]) ans = 1; } printf("Scenario #%d:\n",i); if (ans == 1) printf("Suspicious bugs found!\n"); else printf("No suspicious bugs found!\n"); putchar(10); } return 0;}
当然还有其他的应用,比如LCA(最近公共祖先问题,以及实现Kruskar算法求最小生成树,还在学习ing.
参考文章来源:http://www.ahathinking.com/archives/10.html
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