三维几何基础（3D？）

二维几何我们多少有了一点了解，今天又是周天，于是又开始知识普及了。。。
二维几何中的很多操作也都适合三维几何，比如点+向量=点，向量+向量=向量，等等

struct node{    double x,y,z;    node (double xx=0,double yy=0,double zz=0)    {        x=xx; y=yy; z=zz;    }};node operator + (const node &a,const node &b) {return node(a.x+b.x,a.y+b.y,a.z+b.z);}node operator - (const node &a,const node &b) {return node(a.x-b.x,a.y-b.y,a.z-b.z);}node operator * (const node &a,const double &b) {return node(a.x*b,a.y*b,a.z*b);}node operator / (const node &a,const double &b) {return node(a.x/b,a.y/b,a.z/b);}

直线

直线仍然可以用参数方程（点和向量）来表示，并且射线和线段仍然可以看成“参数有取值范围”的直线

平面

通常用点法式（p0，n）来描述一个平面
其中p0是平面上一个点，向量n是平面的法向量
每个平面把空间分成了两个部分，我们用点法式表示其中一个半空间

法向量

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

三维点积

三维点积的定义和二维的非常类似，而且也可以用点积计算向量的长度和夹角：

double Dot(const node &a,const node &b){    return a.x*b.x+a.y*b.y+a.z*b.z;}double Length(const node &a){    return sqrt(Dot(a,a));}double Angle(const node &a,const node &b){    return acos(Dot(a,b)/Len(a)/Len(b));}

用三维点积可以解决很多基本问题

• 过定点垂直于定平面平面（平面的法向量就是这条向量直线）
• 直线和平面的夹角
• 两平面的夹角
• 两直线的夹角
  （与平面的夹角都可以转化成与法向量的夹角）
• 点到平面的距离
  

如图所示，把向量p-p0投影到向量n上可得：p到平面的有向距离为Dot(n,p-p0)/Length(n)
因为Dot(n,p-p0)=Len(p-p0) * Len(n) * cosα

//点p到p0-n的平面的距离double dis1(const node p,const node p0,const node n){    return fabs(Dot(p-p0,n)/Length(p-p0));}

• 点到平面上的投影
  有了距离，投影点本身就不难求了，设点p在平面上的投影点是pp，则p-pp平行于n，且p-pp=dn，其中d就是p到平面的有向距离
  下面直接给出代码：

//点p到平面的投影 double dis2(const node p,const node p0,const node n){    return p-n*Dot(p-p0,n);}

• 直线和平面的交点
  p，p0是平面上的任意点
  设平面的方程是：Dot(p-p0,n)=0
  过点p1和p2 的直线可以表示为：p=p1+t*(p2-p1)
  联立得：
  t=Dot(n,p0-p1)/Dot(n,p2-p1)

node JD(node p1,node p2,node p0,node n){    node v=p2-p1;    double t=(Dot(n,p0-p1)/Dot(n,p2-p1));    //判断分母是否为0     return p1+v*t;         //如果是线段，判断t是不是在0和1之间 }

三维叉积

三维空间里也有叉积的概念，但形势和二维叉积大不一样，ta是一个向量

node Cross(node A,node B){    return node(A.y*B.z-A.z*B.y,A.z*B.x-A.x*B.z,A.x*B.y-A.y*B.x);}

三维叉积也是一种很有力的工具：

• 首先我们可以求三角形面积
• 过不共线三点的平面：法向量为Cross(p2-p0,p1-p0)，任取一个点就可以得到平面的点法式
• 判断点是否在三角形内

double Area2(node A,node B,node C)    //两倍的面积 {    return Length(Cross(B-A,C-A));}bool Init(node p,node p2,node p1,node p2){    double area1=Area2(p,p0,p1);    double area2=Area2(p,p1,p2);    double area3=Area2(p,p2,p0);    return dcmp(area1+area2+area3-Area2(p0,p1,p2))==0;}

• 判断线段和三角形是否结交

bool XJ(node p0,node p1,node p2,node A,node B,node P){    node n=Cross(p1-p0,p2-p0);    if (dcmp(Dot(n,B-A))==0) return 0;    //线段AB和平面p0p1p2平行或共线    else                                  //平面A和直线p1-p2有唯一交点     {        double t=Dot(n,p0-A)/Dot(n,B-A);        if (dcmp(t)<0 || dcmp(t-1)>0) return 0;  //交点不在线段AB上         P=A+(B-A)*T;                     //计算交点         return Init(P,p0,p1,p2);         //判断交点是否在三角形内     } }

• 四面体体积
  

double Volume(node A,node B,node C,node D){    double ans=Dot(Cross(B-A,C-A),D-A);    return ans/6.0;}

• 多面体的体积：
  平面多边形的面积等于三角形的有向面积之和，空间多面体也类似
  不过要首先需要规定好多面体的存储方式：
  一种简单的方式就是点-面，即一个顶点数组V和面数组F
  V里保存着各个顶点的空间坐标，F数组保存着各个面的3个顶点在V数组中的索引