bzoj1597 土地购买【斜率优化dp】

解题思路：

我们先将土地按x值排序。
很容易得到一个O(n2)的dp方程：
f[i]=min(f[j−1]+x[i]∗max(y[k]),1≤j≤i,j≤k≤i，
处理j时倒着循环，每次就可以O(1)得到max(y[k])了。

其实我们可以把每块土地看做平面上的一个点(x,y)，如图：

那么注意到红色的点是可以忽略的，因为它可以和x,y均比它大的点一起买掉，所以我们可以先去掉这些点，那么剩下的点y随x单调递减，方程变为：
f[i]=min(f[j−1]+x[i]∗y[j]),1≤j≤i。
这就是个决策单调性的经典模型了。

若决策j优于决策k(k<j)，那么有
f[j−1]+x[i]∗y[j]<f[k−1]+x[i]∗y[k]
移项得
f[j−1]−f[k−1]<x[i]∗(y[k]−y[j])
即是：
x[i]>f[j−1]−f[k−1]y[k]−y[j]
用单调队列维护即可。

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<string>#include<algorithm>#include<cmath>#include<ctime>#include<vector>#include<set>#include<complex>#define ll long longusing namespace std;int getint(){    int i=0,f=1;char c;    for(c=getchar();c!='-'&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());    if(c=='-')f=-1,c=getchar();    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';    return i*f;}const int N=50005;const ll INF=1e18;struct node{    int x,y;    inline friend bool operator < (const node &a,const node &b)    {        return a.x<b.x;    }}a[N];int n,q[N];ll f[N];ll calc(int i,int j){    return f[j-1]+1ll*a[i].x*a[j].y;}bool check(int i,int j,int k){    return 1ll*(f[i-1]-f[j-1])*(a[k].y-a[j].y)<1ll*(f[j-1]-f[k-1])*(a[j].y-a[i].y);}void solve(){    sort(a+1,a+n+1);    int top=0;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        while(top&&a[i].y>=a[top].y)top--;        a[++top]=a[i];    }    n=top;    int head=1,tail=1;    q[1]=1;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        while(head<tail&&calc(i,q[head+1])<calc(i,q[head]))head++;        f[i]=calc(i,q[head]);        while(head<tail&&check(i+1,q[tail],q[tail-1]))tail--;        q[++tail]=i+1;    }}int main(){    //freopen("lx.in","r",stdin);    //freopen("lx.out","w",stdout);    n=getint();    for(int i=1;i<=n;i++)    {        a[i].x=getint(),a[i].y=getint();        f[i]=INF;    }    solve();    cout<<f[n];    return 0;}