最小生成树 贪心算法思想

最小生成树：

任何只由G的边构成,并包含G的所有顶点的树称为G的生成树(G连通).加权无向图G的生成树的代价是该生成树的所有边的代码(权)的和.最小代价生成树是其所有生成树中代价最小的生成树。

实现最小生成树的算法常用的是Prim,Kruskal学校数据结构的书上讲解了这两大算法的思路及用C++实现,但关于其合理性的证明却略过去了,这里主要加上我自己的一些总结，证明一下，最后写个模版用。

Prim

基本思想:

1.在图G=(V, E)（V表示顶点，E表示边）中，从集合V中任取一个顶点（例如取顶点v0）放入集合 U中，这时 U={v0}，集合T(E)为空。
2. 从v0出发寻找与U中顶点相邻（另一顶点在V中）权值最小的边的另一顶点v1，并使v1加入U。即U={v0,v1 }，同时将该边加入集合T(E)中。
3. 重复2，直到U=V为止。
这时T(E)中有n-1条边，T = (U, T(E))就是一棵最小生成树。

用书上的图来举例...懒得画直接拍了

关键是每一步选取的边起点是已加入集合U中的点,终点是未加入集合U中的点,在所有这样的点中选取权值最小的一条,把未加入U的点加入U,这一条边加入树T上.

对于这一贪心策略的证明:

首先,一定有一个最优解包含了权值最小的边e_0（prim的第一步）,因为如果不是这样，那么最优的解不包含e_0,把e_0加进去会形成一个环,任意去掉环里比e_0权值大的一条边,这样就构造了更优的一个解,矛盾.
用归纳法,假设prim的前k步选出来的边e_0,…, e_k-1是最优解的一部分,用类似的方法证明prim的方法选出的e_k一定也能构造出最优解。

Kruskal

基本思想:

假设WN=(V,{E})是一个含有n个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含n个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有n棵树的一个森林。之后，从网的边集E中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有n-1条边为止。

同样用书上的图...

贪心策略的证明:

如果按Kruskal算法加入的边(u,v)在某一最优解T中不包含,那么T+(u,v)一定有且只有一个环,而且至少有一条边(u'.v')的权值大于等于(u,v).删除该边后,得到新树T'=T+(u,v)-(u',v')不会比T差,所以按Kruskal算法加入的边是最优的.