SPOJ PROOT Primitive Root (关于原根的一点结论)

题目描述：

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题意很简单，给一个p,n然后输入n个数，要你依次判断这n个数是否是模p的原根，关于原根的定义和概念自行去查资料就好，关于原根的一个重要性质就是我只需要证明如果存在a^x%p==1(x<p)那么这个式子当且仅当x=p-1时成立。从这一点出发去讨论这个题首先讨论a^(p-1)%p是否等于1，如果不等于就肯定是NO了，接下来关于YES的讨论我们需要另外证明一个结论，就是如果存在a^x%p==1，我们假设满足这个式子的最小x为q，那么所有的使这个式子成立的x都是q的倍数。接下来是证明过程：

首先假设存在一个y使a^y%p==1，令g=gcd(q,y)，那么必然存在两个数u,v使得vy=g+uq，那么接下来a^(vy)%p=(a^y)^v%p=1，a^(g+uq)%p=a^(uq)*a^g%p=a^g%p，因为vy=g+uq所以1=a^g%p，因为q是使该式成立的最小值，所以g>=q，由于g=gcd(q,y)，所以g<=q那么所以g=q，又gcd(q,y)=g，那么y就必然是q的倍数。

证明完这个结论之后这题就好解决了，如果a^(p-1)%p=1那么如果p-1不是满足这个式子的最小值的话，那么p-1以内就必然存在一个最小值q使a^q%p=1，并且(p-1)是q的倍数，所以我们只需要枚举(p-1)的约数x，依次判断a^x%p是否等于1就好了，如果存在x满足a^x%p=1的话就是NO否则就是YES；

AC代码：

#include<iostream>#include<time.h>#include<cstdio>#include<cstring>#include<string>#include<cmath>#include<stack>#include<queue>#include<vector>#include<set>#include<algorithm>using namespace std;const double PI=acos(-1);const int SIZE=110;const int INF=0x3f3f3f3f;const int MAXM=1e5;long long p,n;long long fac[MAXM+10];long long qpow(long long x,long long y){    long long res=1;    while(y) {        if (y&1) res=(res*x)%p;        x=(x*x)%p;        y=y>>1;    }    return res;}int main(){    while(scanf("%lld%lld",&p,&n)!=EOF)    {        if (p==0&&n==0) break;        memset(fac,0,sizeof(fac));        fac[0]=1;        int cnt=1;        for (long long i=2;i<=(long long)sqrt(p-1);i++) {            if ((p-1)%i==0) fac[cnt++]=i;            if (i*i!=(p-1)) fac[cnt++]=(p-1)/i;        }        long long x;        while(n--) {            scanf("%lld",&x);            bool flag=true;            for (int i=0;i<cnt;i++) {                if (qpow(x,fac[i])==1) {                    flag=false;                    break;                }            }            if (qpow(x,p-1)!=1) flag=false;            if (flag) printf("YES\n");            else printf("NO\n");        }    }    return 0;}