B树与B+树

（一）B树

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1.1 定义

B树又称为平衡多路查找树，相比于AVL树（平衡二叉树），B树的最大的特点就是节点内部有多个关键字以及有多个子节点。典型的B树如下图所示：

B树的阶数描述了每一个节点子节点的个数（上图为3阶B树）。图中“磁盘块I”是根节点，内部存储17和35两个关键字，有三个子节点。需要注意的是，最下方的“磁盘块5～11”叶子节点，他们的子节点，也就是空节点，代表着一次失败的搜索。

一个m阶B树需要满足下列条件：

• 所有节点至少有2个子节点；除根结点和叶子节点之外，所有节点最多有m个子节点
• 除根节点之外的所有节点至少有ceil(m/2)个子女
• 所有子节点位于同一层（同一高度，根节点高度为1）
• 非叶子节点若有n个子节点，那么他的关键字必须有n-1个，且按照升序排列
• 非叶子节点X的第i个子节点Y的关键字ki，需要满足Ki−1<ki<Ki。其中Ki是X节点的第i个关键字，若i−1≤0则Ki−1=−inf。

1.2 搜索与复杂度

如上图所示，寻找关键字36的过程为：

 ·【磁盘块1】：36>35 -> P3->【磁盘块4】：36<65 -> P1->【磁盘块9】：36=36 -> 成功

B树的搜索复杂度直接取决于其高度和阶数。搜索成功所需要的时间取决于关键字所在的层次，不成功的时间取决于树的高度。

【重要】如果给定总关键字个数N，那么B树的高度h应满足：

2≤h≤log⌈m/2⌉((N+1)/2)+1

1.3 插入与删除

⋆从某个非根结点p开始，执行m阶B树的插入操作：

 -> 节点p中小于m-1个关键码     - 直接插入 -> 节点p中已经有m-1个关键码，当再插入一个关键码后节点的状态为：     (m,P0,K1,P1,...Km,Pm)     - 把节点分裂为两个节点p_和q，它们包含的信息分别为：         { s = ceil(m/2)-1 }         p_ : (s,P0,K1,P1,...,Ks,Ps)         q : (m-s,Ks,Ps,...Km,Pm)     - 新p_节点代替原来的p节点；位于中间的关键码Ks与指向新节点q的指针&q形成一个二元组(Ks,&q)，插入到这两节点的父节点中去。

⋆m阶B树的删除操作：

  -> 非叶子节点：删除关键码Ki，用Pi指向的节点中最小的关键码代替之  -> 叶子节点：      - 分为四种情况。详见[B树删除操作](http://blog.csdn.net/qifengzou/article/details/21473739)

（二）B+树

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与B树的不同

1. 所有关键码都存放在叶节点中，上层非叶节点的关键码是其子树中最小／最大关键码的复写。
2. 也节点包含了全部关键码和指向相应数据记录存放地址的指针，叶节点按照关键码从大到小顺序连接。