最短路径问题

来源：互联网发布：小战雅思下载mac 编辑：程序博客网时间：2024/06/08 06:09

问题描述：在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径。
问题分类：
1单源最短路径问题：从某固定源出发求其到所有其他顶点的最短路径。
（1）无权图：
按照递增顺序找出到各个顶点的最短路径

这里写图片描述

//使用邻接表存储 dist[]和path[]全部初始化为-1typedef struct GNode *PtrToGNode;typedef struct Vnode {    PtrToAdjVNode FirstEdge;    DataType Data;//顶点数据} AdjList[MaxVertexNum];//AdjList邻接表类型struct GNode {    int Nv;//顶点数    int Ne;//边数    AdjList G;//邻接表};typedef PtrToGNode LGraph;typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode;struct AdjVNode {    Vertex AdjV;//邻接表下标    WeightType Weight;//边权重    PtrToAdjVNode Next;};void Unweighted(LGraph Graph, int dist[], Vertex S) {    Queue Q;    Vertex V;    PtrToAdjVNode W;    Q = CreateQueue(Graph->Nv);//创建空队列，MaxSize为外部定义的常数    dist[S] = 0;    AddQ(Q, S);    while(!IsEmpty(Q)) {        V = DeleteQ(Q);        for(W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next) {            if(dist[W->AdjV]==-1) {//w->adjv未被访问过                dist[W->AdjV] = dist[V]+1;//w->adjv到s的距离更新                path[W->AdjV] = V;                AddQ(Q, W->AdjV);            }        }    }}

（2）有权图的单源最短路径

这里写图片描述

这里主要讨论没有负值圈的图。使用Dijkstra算法：
令S={源点s + 已经确定了最短路径的顶点vi}，对于任一未被收录的顶点V，定义dist[v]为s到v的最短路径长度，但该路径仅经过S中的顶点。即路径 {s->(v∈S)->v}的最小长度

typedef struct GNode *PtrToGNode;struct GNode{    int Nv;    int Ne;    WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum];    Datatype Data[MaxVertexNum];};typedef PtrToGNode MGraph;//以邻接矩阵存储的图类型Vertex FindMinDist( MGraph Graph, int dist[], int collected[] ){ /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */    Vertex MinV, V;    int MinDist = INFINITY;    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {        if ( collected[V]==false && dist[V]<MinDist) {            /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */            MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */            MinV = V; /* 更新对应顶点 */        }    }    if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */        return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */    else return ERROR;  /* 若这样的顶点不存在，返回错误标记 */}bool Dijkstra( MGraph Graph, int dist[], int path[], Vertex S ){    int collected[MaxVertexNum];    Vertex V, W;    /* 初始化：此处默认邻接矩阵中不存在的边用INFINITY表示 */    for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ ) {        dist[V] = Graph->G[S][V];        if ( dist[V]<INFINITY )            path[V] = S;        else            path[V] = -1;        collected[V] = false;    }    /* 先将起点收入集合 */    dist[S] = 0;    collected[S] = true;    while (1) {        /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */        V = FindMinDist( Graph, dist, collected );        if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */            break;      /* 算法结束 */        collected[V] = true;  /* 收录V */        for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */            /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */            if ( collected[W]==false && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {                if ( Graph->G[V][W]<0 ) /* 若有负边 */                    return false; /* 不能正确解决，返回错误标记 */                /* 若收录V使得dist[W]变小 */                if ( dist[V]+Graph->G[V][W] < dist[W] ) {                    dist[W] = dist[V]+Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */                    path[W] = V; /* 更新S到W的路径 */                }            }    } /* while结束*/    return true; /* 算法执行完毕，返回正确标记 */}

2多源最短路径问题
Floyd算法：
Dk[i][j]={i->{l≤k}->j}的最小长度，DV[i][j]表示i和j的中间顶点序号不大于k的最短距离。即Dk[i][j]=D^(k-1)[i][k]+D^(k-1)[k][j]

bool Floyd( MGraph Graph, WeightType D[][MaxVertexNum], Vertex path[][MaxVertexNum] ){    Vertex i, j, k;    /* 初始化 */    for ( i=0; i<Graph->Nv; i++ )        for( j=0; j<Graph->Nv; j++ ) {            D[i][j] = Graph->G[i][j];            path[i][j] = -1;        }    for( k=0; k<Graph->Nv; k++ )        for( i=0; i<Graph->Nv; i++ )            for( j=0; j<Graph->Nv; j++ )                if( D[i][k] + D[k][j] < D[i][j] ) {                    D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];                    if ( i==j && D[i][j]<0 ) /* 若发现负值圈 */                        return false; /* 不能正确解决，返回错误标记 */                    path[i][j] = k;                }    return true; /* 算法执行完毕，返回正确标记 */}

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