欧几里德求最大公约数/最小公倍数

两个数的最大公约数（递归/递推）

1、辗转相除法的正确性gcd(a,b)=gcd(b,a mod (b))的证明：
           第一步：令c为a和b的最大公约数，数学符号表示为c=gcd(a,b).因为任何两个实数的最大公约数c一定是存在的，也就是说必                             然存在两个数k1,k2使得a=k1*c, b=k2*c

          第二步：a mod (b)等价于存在整数r,k3使得余数r=a – k3*b.
                        即r = a – k3*b
                              = k1*c – k3*k2*c
                              = (k1 – k3*k2)*c
                        显然，a和b的余数r是最大公因数c的倍数，反复执行 此法 可以把r不断 减小  为1倍 此时a%b == 0

                        可得此时的b即为最大公约数

1、两个数的最大公约数

#include<iostream>using namespace std;int reGcd(int a, int b){if(b == 0){return a;}return reGcd(b, a%b);}int gcd(int a, int b){while(b != 0){t = a%b;a = b;b = t;}return a;}int main(){int a, b;cin >> a >> b;int t, m;if(a  < b ){t = a;a = b;b = t;}t = gcd(a, b);m = reGcd(a, b);cout << t <<" "<< m;return 0;}

2、两个数的最小公倍数

int lcm(int a, int b){ int t = gcd(a, b); return a*b/t;}

二、多个数的最大公约数、最小公倍数

1、最大公约数

求最小值

int getMin(int a, int b, int c){int t;if( a > b) {t = a; a = b; b = t;}if( a > c){t = a; a = c; c = t;}if(b > c){t = b; b = c; c = t;}return a;}

从最小值开始找最大公约数

int mulGcd(int a, int b, int c){int m = getMin(a,b,c);for(int i = m; ; i--){if(a%i == 0 && b%i == 0 && c%i == 0){return i;}}}

2、最小公倍数（可以从最大的数开始提高效率)

注意：多个数的最小公倍数不可以用a*b*c/gcd(a,b,c)的方式求  

int mulLcm(int a, int b, int c){for(int i = a; ;++i){if(i%a == 0 && i%b == 0 && i%c == 0){return i;}}}