11.数据结构（4）

一、树的概念

1.树是n（n>=0）个结点的有限集 n=0的时候称为空树，在任意一颗非空树中：

（1）有且仅有一个特定的称为根（root）的结点；

（2）当n>1时，其余结点可以分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、T3.....Tm，其中，每一个集合本身又是一棵树，并且称为跟的子树

2.

结点：树的结点包含一个数据元素及若干个指向其子树的分支

度：结点拥有的子树称为结点的度

叶结点：度为0的结点称为叶结点或者终端结点。

分支结点；度不为0的结点称为非终端结点或者分支结点

孩子、双亲：结点的子树的跟称为该结点的孩子，相应的，该结点称为孩子的双亲

深度：树中结点最大层次称为树的深度

二、二叉树

1.二叉树是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成

2.二叉树的特点

每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点

左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒

即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树

3.特殊二叉树

斜树

满二叉树：

（1）在一棵二叉树中，如果所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树

（2）叶子只能出现在最下一层 非叶子结点的度一定是2 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多

完全二叉树

（1）对一个具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树

（2）完全二叉树特点：

叶子结点只能出现在最下两层

最下层的叶子一定集中在左部连续位置

倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置

如果结点度为1，则该结点只有左孩子，

同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小

三、二叉树的性质

性质1 在二叉树的第i层上至多有        个结点

性质2 深度为k的二叉树至多有         -1个结点

性质3 对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n，度为2的结点数为m，则n=m+1

性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度为         

性质5 

如果对1棵有n个结点的二叉树的结点按层序编号，对任一结点i：

如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲是结点【i/2】

如果2i>n，则结点i无左孩子，否则，其左孩子是2i

如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1     

四、二叉树遍历

先序遍历 规则是若二叉树为空， 则空操作返回，否则先访问根结点，然后先序遍历左子树，再先序遍历右子树

中序遍历 规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树

后序遍历 规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右，先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点