卡特兰数（Catalan）证明及应用：12个高矮不同的人排成前后两队

【概述】：
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)*h(0) (n>=2);

解为h(n) =

unsigned long h(int n)//求卡特兰数{    if (n < 0)    { cout << "wrong input!" <<endl;      return EXIT_FAILURE;}    unsigned long ret = 0;    if (n == 0 || n == 1)        return 1;    for (int i = 0; i != n; ++i)        ret += h(i)*h(n - i - 1);    return ret;}

【卡特兰数对应出栈次序问题】n个自然数1~n进栈（栈无穷大），任何一个数进栈的同时可以选择出栈，比如第一个数进栈完毕，下一个动作可以选择出栈或后一个数进栈，进栈次序为1、2、3……n，问不同的出栈次序有几种？
我们可以这样想，假设k是最后一个出栈的数。比k早进栈且早出栈的有k-1个数，这k-1个数出栈一共有h(k-1)种方案（h是函数规则，这里函数规则是一样的，想想为什么？）。比k晚进栈且早出栈的有n-k个数，一共有h(n-k)种方案。所以一共有h(k-1)*h(n-k)种方案。显而易见，k取不同值时，产生的出栈序列是相互独立的，所以结果可以累加。k的取值范围为1至n，所以结果就为h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0)。

【递推解的证明】：
【等价问题】：n个1和n个0组成一个2n位的2进制数，要求从左到右扫描，1的累计数不小于0的累计数，试求满足这条件的数有多少？

进栈看作1，出栈看作0，由于在任何时候进栈累计数都不会小于出栈累计数（否则没有元素进栈怎么会有元素出栈），所以这两个问题是等价的（仔细想一想）！根据上面的出栈次序问题，可以得到这样的数有h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0)个，满足递推式。

另一方面，在2n位上填入n个1的方案数为C(2n n)，不填1的其余n位自动填以数0。从C(2n n)中减去不符合要求的方案数也是所求数量。不合要求的数指的是从左而右扫描，出现0的累计数超过1的累计数的数。不合要求的数的特征是从左而右扫描时，必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个0和m个1。此后的2（n－m）－1位上有n－m个1，n－m－1个0。如若把后面这2（n－m）－1位之中的0与1交换，使之成为n－m个0，n－m－1个1，结果得 1个由n+1个0和n－1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n－1个1和n+1个0组成的一个排列。反过来，任何一个 由n+1个0，n－1个1组成的2n位数，由于0的个数多2个，2n是偶数，故必定会在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分，令0 和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n+1个0和n－1个1组成的2n位数，必对应于一个不合要求的数。由上可知：【n+1个0和n－1个1组成的2n位数，与不符合要求的数是一一对应的】。所以不符合要求的数量为C(2n n+1)，相减即可得结果。

同一问题两种解必然相等，所以递推式等于组合数之差，证毕。

【应用】之【阿里巴巴笔试题】：12 个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?

【解答】：
把12个人按从低到高编号2，3，4，。。。，13（避免与0、1重复，或者你记为A、B、C、D。。。也行）；
现在分类，把前排人归为类0，后排人归为类1，我们任意给出一个0和1的序列，比如：010101010101,约定该序列一定与2，3，4，。。。，13按顺序顺序对应，就是0、1序列中第一个对应2，第二个对应3。。。，排列时遇0排前排，遇1排后排，以此类推，那么这两排人就是：

后：3  5  7  9  11  13前：2  4  6  8  10  12   //（1）

再给个序列：110000001111,令其与2，3，4，。。。，13对应，
那么这两排就变成：

后：4  5  6   7   8   9前：2  3  10  11  12  13            //（2）

显然序列（1）符合要求，序列（2）不符合要求，因为前排10比后排6高。经过以上约定，我们现在集中解决什么样的序列是符合要求的序列？
这里直接给出【答案】：对0、1序列，必须满足从左向右扫描，任何时刻0的累计数不少于1的累计数（似曾相识？）。
比如这样一个序列00111（？）0001101，在？处，不满足0的累计数不少于1的累计数，会出现这样的情况：

后：4  5  6    前：2  3       //前5个人按我们的约定排出来

前五个数是这样排列的。问题来了，6放在后排，它对应的前排有吗？显然没有比6小的数字了，所以不符合题意。很容易归纳出来，但凡出现1的次数比0多，多出的1都没有比自己矮的前排了，所以以上答案是正确的。

这个答案对应的数值解是多少呢？请向上翻到【等价问题】，一模一样吧，解为h(6)！