(二)证明数列{(1+1/n)^(n+1)}为递减数列，{(1+1/n)^(n)}为递增数列

关于不等式的证明可参考http://blog.csdn.net/qq_24641847/article/details/78744596

1. 利用不等式

bn+1−an+1>(n+1)an(b−a),b>a>0

证明 {(1+1n)n+1} 为递减数列

证明：
由

bn+1−an+1>(n+1)an(b−a)

可得

bn+1>[(n+1)(b−a)+a]an

设

b=1+1n;a=1+1n+1

可得

(1+1n)n+1>[(n+1)(1n−1n+1)+1+1n+1](1+1n+1)n

整理

(1+1n)n+1>(1+1n+1n+1)(1+1n+1)n

由于

1n−1n+1>1(n+1)2

带入可得

(1+1n)n+1>(1+2n+1+1(n+1)2)(1+1n+1)n=(1+1n+1)2(1+1n+1)n

所以

(1+1n)n+1>(1+1n+1)n+2

所以数列{(1+1n)n+1}为递减数列

2. 利用不等式

bn+1−an+1<(n+1)bn(b−a),b>a>0

证明 {(1+1n)n} 为递增数列

证明：
由

bn+1−an+1<(n+1)bn(b−a)

可得

an+1>[(n+1)a−nb]bn

设

a=1+1n+1;b=1+1n

可得

(1+1n+1)n+1>[(n+1)(1+1n+1)−n(1+nn)](1+1n)n

整理可得

(1+1n+1)n+1>(1+1n)n

所以数列{(1+1n)n}为增数列

其中我们通常用拉丁字母e代表{(1+1n)n}的极限，即

limn→∞(1+1n)n=e

我们也可得

limn→∞(1+1n)n+1=limn→∞(1+1n)nlimn→∞(1+1n)=e∗1=e