图论--最短路算法

图论

图论是OI比赛中最重要的部分 。OI中除了送分题和数论题，基本都是图论的题目。

最短路是图论中一个比较核心的问题。在一个图中（有向，无向//有环，无环//有负边权，无负边权）两个点，如何找到一个花费最小的路径呢？

在高中我接触到了4个最短路算法：Floyd，Dijkstra，Bellman-Ford，SPFA
今天只打算讲除了Bellman-Ford之外的三个算法。
你都有SPFA了干嘛还要写BF

Floyd：

本算法的复杂度是算法界中首屈一指的高：O（n³）
但是，它被沿用的原因有两个：

 1.对Floyd单次的调用可以获得所有的点对之间的最短路径。 2.可以处理正负边权的情况。

本算法的三个循环：
第一层循环是对中间点的穷举；
第二层循环是对起点的穷举；
第三层循环是对终点的穷举；

而确立最短路径的地过程，更像是一个动态规划：

• 状态转移方程：map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}；
  其中map记录了最短路的情况

经过这个动态转移方程的描述，可以更加清楚地看到Floyd的本质。

代码：

for(k=1;k<=n;k++)    for(i=1;i<=n;i++)        for(j=1;j<=n;j++){            if(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j]){                d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];                path[i][j]=path[i][k];            }        }

Dijkstra：

这个算法用于处理一对结点之间的问题，算法复杂度在n²。
不能处理含有负边权的情况。

dijkstra的思路其实有一些像prim算法的思路（笑
所以其实我懒得写了？

过程

我们将整个图中的点分为两个集合;
一个集合是已扩展的点集，S，一个集合是未扩展的，V。
显而易见，一开始S是空集，而V包含所有的点。

第一步，我们将起点加入S。
然后，选择S连接的点中，花费（边权）最 小的点。加入S。
然后更新这个集合所连接的所有的点的花费。
（一步步…一步步…..直到所有的点都扩展了，我们就得到了终点的最终花费）

代码;

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<iostream>#define maxn 100005using namespace std;struct node{    int next;    int to;    int w;}edge[maxn];struct Node{    int w;    bool ty;}dis[maxn];int n,m,q,e=0,head[maxn];void add(int u,int v,int d){    edge[++e].next=head[u];    edge[e].to=v;    edge[e].w=d;    head[u]=e;    return ;}void dij(int x){    int c=n-1;    dis[x].ty=1;    for(int i=head[x];i!=0;i=edge[i].next)      dis[edge[i].to].w=edge[i].w;    while(c>0){        int min=900000000,p;        for(int i=1;i<=n;i++){            if(dis[i].ty==0&&dis[i].w!=0&&dis[i].w<min){                p=i;                min=dis[i].w;            }        }        for(int i=head[p];i!=0;i=edge[i].next){            if(dis[edge[i].to].ty!=1){                if(dis[edge[i].to].w==0||dis[edge[i].to].w>dis[i].w+edge[i].w)                  dis[edge[i].to].w=dis[p].w+edge[i].w;            }        }        dis[p].ty=1;        c--;    }    return ;}int main(){    int u,v,d,x,y;    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=m;i++){        scanf("%d%d%d",&u,&v,&d);        add(u,v,d);        add(v,u,d);    }    scanf("%d",&q);    for(int i=1;i<=q;i++){        scanf("%d%d",&x,&y);        dij(x);        printf("%d\n",dis[y].w);        for(int j=1;j<=n;j++){            dis[j].w=0;            dis[j].ty=0;        }    }    return 0;}

SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）：

SPFA的另一个作用：判定图中是否含有负数环23333

用数组d记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。
我们采取的方法是动态逼近法：

设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

如果一个点进入队列达到n次，则表明图中存在负环，没有最短路径。

复杂度：
期望时间复杂度：O(me)， 其中m为所有顶点进队的平均次数，可以证明m一般小于等于2n：

 “算法编程后实际运算情况表明m一般没有超过2n.事实上顶点入队次数m是一个不容易事先分析出来的数,但它确是一个随图的不同而略有不同的常数.所谓常数,就是与e无关,与n也无关,仅与边的权值分布有关.一旦图确定,权值确定,原点确定,m就是一个确定的常数.所以SPFA算法复杂度为O(e).证毕."（SPFA的论文）

伪代码;

ProcedureSPFA;Begin    initialize-single-source(G,s);    initialize-queue(Q);    enqueue(Q,s);    while not empty(Q) do begin        u:=dequeue(Q);        for each v∈adj[u] do begin            tmp:=d[v];            relax(u,v);            if(tmp<>d[v])and(not v in Q)then enqueue(Q,v);        end;    end;End; 

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求最短路不要拘束于这四种算法，很多算法会有出其不意的效果。
比如我们可以把一个图拽起来，变成一棵树。
然后最短路就是求LCA了233333

 求出LCA时，记录逆dfs序列，直接写出路径。

SPFA给我们做了一个好榜样，我们要自己去琢磨新的算法，新的思路。

最后还是祝各位OIer武运昌隆！