[图论]最短路问题 dijkstra算法
来源:互联网 发布:yy协议号软件 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 10:58
今天研究的是图论中的一类基础问题:最短路问题
最短路问题是图论中最基础的问题,在程序设计竞赛试题中也经常出现。最短路是给定两个定点,在以这两个点为起点和终点的路径中,边的权值和最小的路径。如果把权值当作距离,考虑最短距离的话就很容易理解了。智力游戏中的求解最少步数问题也可以说是一种最短路问题。
单源最短路径问题,即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前,必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。
一.最短路径的最优子结构性质
该性质描述为:如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,k和s是这条路径上的一个中间顶点,那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。
假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径,则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离,那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s),那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。
1、Dijkstra算法
由上述性质可知:如果存在一条从i到j的最短路径(Vi...Vk,Vj),Vk是Vj前面的一顶点,那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径,Dijkstra就提出了以最短路径长度递增,逐次生成最短路径的算法。譬如对于源定点V0,首先选择其直接相邻的定点中长度最短的顶点Vi,那么当前已知可得从V0到达Vj定点的最短距离dist[j]=min(dist[j],dist[i]+matrix[i][j])。根据这种思路,假设存在G=<V,E>,源顶点为V0,U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离,path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个定点。
1、从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i,将i加入到U中;
2、更新从i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min(dist[j],dist[i]+matrix[i][j]))
3、直到U=V,停止。
最短路 HDU2544
Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 28761 Accepted Submission(s): 12444
Problem Description
在每年的校赛里,所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候,却是非常累的!所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线,你可以帮助他们吗?
输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M(N<=100,M<=10000),N表示成都的大街上有几个路口,标号为1的路口是商店所在地,标号为N的路口是赛场所在地,M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行,每行包括3个整数A,B,C(1<=A,B<=N,1<=C<=1000),表示在路口A与路口B之间有一条路,我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。
对于每组输入,输出一行,表示工作人员从商店走到赛场的最短时间
2 1 1 2 3 3 3 1 2 5 2 3 5 3 1 2 0 0
#include <stdio.h>#include <algorithm>#define MAX 0x3f3f3f3f#define RANGE 101int cost[RANGE][RANGE];int d[RANGE];bool used[RANGE];int n,m;using namespace std;void Dijkstra( int s ){ int i,v,u; for( i=1; i<=n; ++i ) { used[i]=false; d[i]=cost[1][i]; } d[s]=0; while( true ) { v=-1; for( u=1; u<=n; ++u ) if( !used[u] && ( v==-1 || d[u]<d[v]) ) v=u; if( v==-1 ) break; used[v]=true; for( u=1; u<=n; ++u ) d[u]= min( d[u],d[v]+cost[v][u] ); }}int main(){ int A,B,C,i,j; while( scanf("%d%d",&n,&m) ) { if( !n && !m ) break; // 初始化 for( i=1; i<=n; ++i ) for( j=1; j<=i; ++j ) if( i==j ) cost[i][j]=0; else cost[i][j]=cost[j][i]=MAX; for( i=0; i<m; ++i ) { scanf("%d%d%d",&A,&B,&C); cost[A][B]=cost[B][A]=C; } Dijkstra(1); printf("%d\n",d[n]); } return 0;}
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