ACM训练半周总结—12月7日

         这个半周其实挺时间紧张的一大波期末考试即将来到，但我还是坚持推进着系统学习组合数学。另外还有一个原因，题目里有一些关于数学期望的东西，样例求的值有些懵，了解了一点概率的东西才有开始做。整理一下重点题目吧。

       O题（GCD ）：求a<=x<=b,c<=y<=d(其中a,c题目中已经说了必为1)，中有多少对(x,y)满足GCD（x,y）=k。

因为gcd(x/k,y/k)=1，由此可以转化成求两区间[1,b/k]和[1,d/k]中各选一个数两数互质的数有多少对组合。假设b<=d，那么分为两部分  1，当[1,b]与[1,b]间是就是求欧拉函数phi[1]+phi[2]+...phi[b]。2，求[1,b]与[b+1,d]，求此区间有多少对数互质，可以先求出有多少对数不互质，再用b减去。这就可以用容斥原理解决了。

void getprime()//线性筛出素数和欧拉函数
{
    int k=0;
    memset(is,false,sizeof(is));
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<100005;i++)
    {
        if(is[i]==false)
        {
            phi[i]=i-1;
            prime[k++]=i;
        }
        for(int j=0;j<k&&i*prime[j]<100005;j++)
        {
            is[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
}
void solve()//分解因子
{
    for(int i=1;i<=100000;i++)
    {
        int k=i;
        for(int j=0;prime[j]*prime[j]<=k;j++)
        {
            if(k%prime[j]==0)
            {
                q[i].push_back(prime[j]);
                while(k%prime[j]==0) k/=prime[j];
            }
            if(k==1) break;
        }
        if(k>1) q[i].push_back(k);
    }
}
ll dfs(int a,int b,int it)//容斥原理...q[]是分解出的因子
{
    ll ans=0;
    for(int i=a;i<q[it].size();i++)
    {
        ll k=b/q[it][i];
        ans=ans+k-dfs(i+1,k,it);
    }
    return ans;
}

        L题（Card Collector ）：在每包小当家方便面里面，可能有一张卡片，也可能没有。已知有总共有n张卡片，第i张的卡片出现的可能是pi。 问收集齐所有的卡片需要吃方便面数的期望是多少。

       概率上说，假如买第种中卡片的几率是0.1，那么买10包必能中一包，那么已知一个事件在某个活动里发生的概率为p，则这个事件第一次发生需要的活动期望数为1/p，那么ans = 1/p1 + 1/p2 + .. + 1/pn - 1/(p1+p2) - 1/(p1+p3) - ... + 1/(p1+p2+p3) ... 这就又是容斥原理解决了。隐约感觉概率这门课，很神奇。。

         N题（瞬间移动）：有一个无限大的矩形，初始时你在左上角（即第一行第一列），每次你都可以选择一个右下方格子，并瞬移过去（如从下图中的红色格子能直接瞬移到蓝色格子），求到第nn行第mm列的格子有几种方案，答案对1000000007取模。

         这个题其实退一下就发现f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]，不难发现是杨辉三角，利用其性质，第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。 于是本题就转化为求C(n+m-4,m-2)%p。然后用费马小定理和卢斯卡定理求出就可以了。这里还要感谢费老师推荐的博客http://blog.csdn.net/Cai_Haiq/article/details/75954298