时间复杂度与空间复杂度分析（递归与非递归比较）

时间复杂度：
一般情况下，算法中基本操作重复的次数就是问题规模n的某个函数f（n），进而分析f（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级。这里用‘o’来表示数量级，给出算法时间复杂度。
T（n）=o（f（n））；
它表示随问题规模n的增大，算法的执行时间增长率和f（n）增长率成正比，这称作算法的渐进时间复杂度。而我们一般情况下讨论的最坏的时间复杂度。
空间复杂度：
算法的空间复杂度并不是实际占用的空间，而是计算整个算法空间辅助空间单元的个数，与问题的规模没有关系。算法的空间复杂度S（n）定义为该算法所耗费空间的数量级。
S（n）=o（f（n））
若算法执行所需要的辅助空间相对于输入数据n而言是一个常数，则称这个算法空间复杂度辅助空间为o（1）；
递归算法空间复杂度：递归深度n*每次递归所要的辅助空间，如果每次递归所需要的辅助空间为常数，则递归空间复杂度o（n）。

int binary_search(int *a,int size,int value)  //[left,right);{    int left = 0;    int right = size;    while (left < right)    {        int mid = left + ((right - left) >> 1);        if (value > a[mid])            left = mid + 1;        else if (value < a[mid])            right = mid ;        else            return mid;    }    return -1;}int binary_search1(int *a, int size, int value)//[left,right]{    int left = 0;    int right = size - 1;    while (left <= right)    {        int mid = left + ((right - left) >> 1);        if (value > a[mid])            left = mid + 1;        else if (value < a[mid])            right = mid - 1;        else            return mid;    }    return -1;}

折半查找时间复杂度：

假设在n个数中查找，查找第一次个数变为n/2，查找第二次 个数变为 （n/2）/2 依次类推计算第n次时查找的数列长度为（n/(2^x)）。设x为查找的次数，最坏情况下查找x次找到 （n/(2^x)）=1
所以查找在n个数查找查找的次数为：x=log n 时间复杂度为：O（log n）(以2为底n的对数)
空间复杂度：O（1）

//递归实现二分查找int binary_search2(int *a, int left,int right, int value){    if (left <= right)    {        int mid = left + ((right - left) >> 1);        if (value == a[mid])        {            return mid;        }        else if (value > a[mid])        {            left = mid + 1;            return  binary_search2(a, left, right, value);        }        else        {            right = mid - 1;            return binary_search2(a, left, right, value);        }    }    else    return -1;}

int fibonacci(int a){    if (a < 2)        return a;    else        return fibonacci(a - 1) + fibonacci(a - 2); }

斐波那契的（递归）时间复杂度分析：

如图为递归的次数。2^5-16，以此类推，计算第n个斐波那契数是时间复杂度为O（2^n）-O(1)
即时间复杂度为 O（2^n）
空间复杂度：递归深度*每次递归所需要的辅助空间所以空间复杂度有为o（n）；

//斐波那契数的非递归算法：int fibonacci1(int a){    int x=0, y=1, z;    if (a < 2)                    return a;    else    {        int i = 0;        for (i = 2; i <= a; i++)            {                                z = x + y;             x = y;            y = z;        }    }    return z;}

时间复杂度O（n）
空间复杂度O（n）