求两数的最大公约数

求两数的最大公约数
质因数分解
短除法
辗转相除法（欧几里德算法）
更相减损法

本文讲后两种；
1辗转相除法（欧几里德算法）
定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。最大公约数（Greatest Common Divisor）缩写为GCD。
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0)

证法一
a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r

unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N){    unsigned int Rem;    while(N > 0)    {        Rem = M % N;        M = N;        N = Rem;    }    return M;

C++版

int gcd(int a，int b){    if (a < b)        std::swap(a, b);    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);}

比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公因数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论：
　　（1）如果两个自然数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。
　　例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。
　　（2）如果两个自然数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。
　　例如18与3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。
　　（3）两个整数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。
　　例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互质数。
　　（4）两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
　　例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即（12，16）× [12，16]=12×16。
（5）GCD(a,b) is the smallest positive linear combination of a and b. a与b的最大公约数是最小的a与b的正线性组合,即对于方程xa+yb=c来说,若x,a,y,b都为整数,那么c的最小正根为gcd(a,b).

更相减损法
C语言

int GCD(int a,int b){     while(a!=b)    {        if(a>b)a-=b;elseb-=a;}    return a;}

C++版

int GCD(int a,int b){     while(a!=b)    {        if(a>b)             a-=b;         else             b-=a;     }    return a;  }