Batch Normalize的几点说明

前言

　　前面也讲过部分Batch Normalize的内容，单独拿出来成文，是因为感觉这方法非常赞，加快训练速度十几倍不等，模型越复杂越受益。
　　一句话总结BN：对每层输入加同分布约束，再加参数线性变换学习其表达能力。

BN解决的问题

　　Problem :: Internal Covariate Shift
　　神经网络训练的难题之一，在前层参数变化时，每层的输入分布也随之变化。这就造成了当层的训练困难，老是变来变去，还能不能好好地玩耍啊~通常地解决思路是使用很小的学习率，并且小心地初始化。
　　Batch Normalize的基本思想是，将每层的输入做std-normalize，y=x−x¯var(x)√，使得变换后，是N(0 1)高斯分布。

疑问解答

1）Batch Normalize是怎么做的？

　　假设输入m-size的batch样本x，对其中的所有特征都做如下处理：

⎧⎩⎨⎪⎪x^=x−x¯var(x)−−−−−√BN(x)=γx^+βstd⋅normalizescale⋅shift

　　其中x¯=1m∑mi=1xi； var(x)=1m∑mi=1(xi−x¯)2

2）单纯地std-normalize能行么？

　　只是将输入约束到同分布下，岂不是所有层的输入都一样了，那还学个毛线啊。在normalize上，Sergey更向前走了一步，一不做二不休，干脆再搞它俩参数γ和β，将输入恢复出来，通过不断学习调整这两个参数，使得重构输入的能力也能被搞定。

3）梯度消失的现象在带有BN的网络结构里还存在么？

　　误差后传，传递的是误差项∗导数项∗其他项；传递的动作是链式法则的体现。随着传递路径越长，越容易出现为0的现象。
　　原因1： sigmoid激活函数，自身带有的饱和域（导数近似为0）。
　　原因2： 串联网络本身的参数累乘所带来的梯度消失问题没有解决掉。
　　ReLU激活函数，只是解决了由于激活函数的饱和域（导数近似0）所带来的的梯度消失问题。
　　BN方法，会将训练早期的数据约束到[-1,+1]范围内，避开了饱和区域，也能解决饱和域带来的梯度消失问题。

4）BN在网络中，放到哪里适合？

　　在非卷积网络中，通常是放到激活函数前面，处理之后做激活函数输入：σ(BN(wx))。
　　notice：由于BN(wx+b)=BN(wx)，会将bias去掉，后面的β起到类似bias的作用。
　　在卷积网络中，则要服从卷积的特性。利用固定filter-blank抽取某一特征feature-map，相当于每个f-map是一个抽取之后的特征（是个整体），那么对只需要对feature-map加统一的γ和β即可，同样放到激活函数前。详细如下图。

5）如何解释 BN使得网络更稳定的特性

　　假设权重参数w变为aw，对新旧参数下的x求导如下：

∂BN(awx)∂x=γawvar(awx)−−−−−−−−√=a|a|rwvar(wx)−−−−−−−√=sign(a)∂BN(wx)∂x

　　发现，虽然参数虽然放缩a倍，但是参数的变化率并没有变化（除了方向），所以参数的放缩对参数变化率无影响。这是很好的特性，表明不会因为参数值的变化，就导致参数变化率飞速增长/缩小，从而使得依赖参数的前向和后向计算值都失控。

6）如何理解 BN对大学习率更友好

　　对于大学习率learning rate, BN是更为友好的。
　　⎧⎩⎨⎪⎪BN(wx)=γ(wx)−wx¯¯¯var(wx)√+βBN(awx)=γawx−awx¯¯¯¯var(awx)√+β==>⎧⎩⎨⎪⎪∂BN(wx)∂w=rxvar(wx)√∂BN(awx)∂(aw)=rxvar(awx)√
　　得到：

∂BN(awx)∂(aw)=1|a|∂BN(wx)∂w

　　对BN而言，权重变化wnew=wold−α∂BN∂w=a∗wold时，其中权重的导数，也会按照对应比例1|a|变化。
　　若是学习率α较大，训练初始则容易使得|a|>1，新参数下的梯度反而会压缩到旧参数时的梯度1|a|倍，对梯度更新是更安全的，不会无端地放大跑偏。
　　当参数前后两次变化幅度较小，比如a=0.9时，则新梯度是之前梯度的10/9倍，再乘以α，更容易跳出梯度过小而陷入的局部解，或者马鞍部位。
　　更新前后两个梯度和学习率之间互相牵制，是其他方法所不具备的特点。

6）BN怎么计算导数？

　　　　假设其中ZLj=BN(wLj∗hL−1)=rLj∗∑iwLj,ihL−1i−wLjhL−1¯¯¯¯¯¯¯¯var(wLjhL−1)√+βLj
　　　　对wLj,i求导得：∂Zj∂wLj,i=rLjhL−1ivar(wLjhL−1)√；若无BN，则∂Zj∂wLj,i=hL−1i
　　　　对βLj求导得：∂BN∂βLj=1。
　　　　对γLj求导得：∂BN∂γLj=wLjhL−1var(wLjhL−1)√
　　在网络中误差后传如下：h=h(z)
　　W(L)记做第L层的权重，连接L−1和L之间的权重，γ(L)和βL作为本层学习的标准差向量和偏倚向量，其各自的维度等于本层节点数。
　　a）计算L层的输出误差：
　　　　a.1）δ′(L)={∑δ(L+1)W(L+1)h−y,后层传递过来的δ,本层直接差h−y(最后一层时)
　　　　a.2）δ(L)=δ′(L)∗h′(L)∗r(L)var(W(L)h(L−1))√ ，乘本层激活导数，再乘BN对w的导数。
　　b）更新w：ΔW(L)=h(L−1)∗δ(L) 前层输出*本层的δ。
　　c）更新β：Δβ(L)=δ′(L)∗h′(L)
　　d）更新γ：Δγ(L)=δ′(L)∗h′(L)∗w(L)h(L−1)var(w(L)h(L−1))√
　　实际计算时，会在分母的var上叠加个随机很小的正数，防止分母为0。最开始初始化时，每对γ和β分别都初始化到1和0附近。注意，批量计算均值和方差。
　　补充梯度求导，与paper里面的对比。不是特别明白为什么论文里有对估计参数u和σ的求导。
　　训练过程：用batch-GD训练；记录每个batchB的uB和σB，用以最后估计全局的u和σ。

9）BN在预测时怎么玩？

　　这个问题的由来：因为预测是单样本依次预测。不存在batch训练的情况，所以预测是与训练不同的，如何利用训练过程及结果参数是个问题。
　　预测时，计算总体的均值和方差是不实际的，也是无法实现的，因为无法采样到所有样本。用总采样来估计总体的均值和方差呢？也是需要大量计算的，在训练过程中的batch下的均值uB和方差σB，可以加以利用来估计总体，如下：　　

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪E[x]=E[uB]=1K∑B=1KuBVar[x]=mm−1E[σB]

　　如上，估计总体的均值和方差，预测时BN不再生效，但是仍然利用x^=γx−E[x]Var[x]√+β 来重构，否则岂不是白学习了重构参数，哈哈。(论文里的那个式子是这个式子稍微变换之后的样子)
　　作者说”Using moving averages instead, we can track the accuracy of a model as it trains”？说的不甚明了，难道是追踪均值和方差的情况。

10）几种提高BN效力的方法

　　Sergey友情提示了几个方法，提高BN的效力。
　　增大学习率，学得快还安全；去掉dropout，节省时间；去掉L2正则，但是个人觉得不要去最好，没有理由证明BN能够代替L2；样本集多次shuf，避免同batch总是一样的样本；减少图片变形处理，说的理由不充分；去掉local Response Normalize。

11）怎么理解BN是whiten的简化之后的版本？

　　已有研究说明[2]，针对Internal Covariate Shift问题，将输入做whiten处理，可以收敛地更快。疑问，真有必要whiten么？ICS只是权重变换，影响输出的分布而已，将分布搞得一致不就好了，还用着考虑各个输出变量间的相关关系么，后续层反正也不care变量间的相关性。
　　whiten的处理非常严格：要求去掉各个变量间的相关性；且每个变量的variance=1。
　　whiten定义：将一组随机变量(X1,X2,....,Xn) 通过Y=WX变换为 →(Y1,Y2,...,Ym)，称后者为白噪声，其协方差矩阵为单位对角矩阵，各变量间无相关性(∃非零系数向量，使得aY=0成立)，Var[Ym]=1。
　　whiten的求解：假设X有non-singular 协方差矩阵M，and mean=0。
　　方法一：W=M−1/2 ZCA白化。
　　方法二：cholesky分解 of M−1。
　　方法三：特征分解 of M （PCA类方法）。
　　其他相关变换：
　　decorrelation transform：去相关，但是对variance不处理。
　　standard transform： mean=0，variance=1；相关性不处理。
　　corloring transform：白化的逆向处理，将白噪声处理成具有指定协方差矩阵的变换。
　　具体例子见参考3.
　　而BN使用标准化变换，不再考虑相关性，又把全局均值和方差用batch均值和方差来代替，省了大量的计算需要，并且效果还很不错。
　　BN本质，使得同分布；约束范围（量纲归一）。

Reference

1. 《Batch Nomalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift》
2. 《A Convergence analysis of log-linear training》
3. https://www.projectrhea.org/rhea/index.php/ECE662_Whitening_and_Coloring_Transforms_S14_MH