用栈实现表达式的求值（iOS计算器的实现）

1.前/中/后缀表达式的转换（首先需要明白三者之间的转换）   

   自然表达式转换为前/中/后缀表达式，其实是很简单的。首先将自然表达式按照优先级顺序，构造出与表达式相对应的二叉树，然后对二叉树进行前/中/后缀遍历，即得到前/中/后缀表达式。

    举例说明将自然表达式转换成二叉树：

    a×(b+c)-d

    ① 根据表达式的优先级顺序，首先计算(b+c)，形成二叉树

   

   

   ②然后是a×(b+c)，在写时注意左右的位置关系

   

   ③最后在右边加上 -d

   

    然后最这个构造好的二叉树进行遍历，三种遍历的顺序分别是这样的：

    ① 前序遍历：根-左-右

   ② 中序遍历：左-根-右

   ③ 后序遍历：左-右-根

    所以还是以刚才的这个例子，在最终二叉树的基础上可以得出：

    前缀表达式：-*a+bcd

    中缀表达式：a*b+c-d     这里二叉树的顺序本就是按照计算的顺序和书写的顺序构造的，并且运算符号都位于根节点，所以                           中序遍历出的结果和我们写表达式的顺序一致，只是括号被省略了。

    

    后缀表达式：abc+*d-     后续遍历将运算符放在运算数的后面，这样方便我们写程序时候的判断，一旦遇到运算符，就可以                           获取栈中存放的操作数出栈进行计算。从中序遍历转变为后续遍历的时候我们需要做的就是将运算                           符优先级高的先输出运算，优先级低的保存起来后输出运算，所以用到了栈，来调整运算符输出次                           序。    

2.中缀表达式转后缀表达式（栈的应用）  

 中缀表达式“9+（3-1）*3+10/2”转化为后缀表达式为“9 3 1- 3 * + 10 2 / +”.

   规则：从左到右遍历中缀表达式的每一数字和符号，若是数字就输出，即成为后缀表达式的一部分；若是符号，则判断其与栈  顶符号的优先级，是右括号或优先级低于栈顶符号（乘除优先加减）则栈顶元素依次出栈并输出，并将当前符号进栈，一直到最终输出后缀表达式为止。

    a.初始化一空栈，用来对符号进出栈使用。

    b.第一个字符是数字9，输出9，后面是符号“+”，进栈。

    c.第三个字符是“（”，依然是符号，因其只是左括号，还没有配对，故进栈。

    d.第四个字符是数字3，输出，总表达式为9 3，接着是“-”，进栈。

    e.接下来是数字1，输出，总表达式为9 3 1，后面是符号“）”，此时，我们需要去匹配此前的“（”，所以栈顶依次出栈，并输出，直到“（”出栈为止。此时左括号上方只有“-”，因此输出“-”。总的表达式为9 3 1 -。

    f.接着是数字3，输出，总的表达式为9 3 1 - 3.紧接着是符号“*”，因为此时的栈顶符号为“+”号，优先级低于“*”，因此不输出，“*”进栈。

    g.之后是符号“+”，此时当前栈顶元素“*”比这个“+”的优先级高，因此栈中元素出栈并输出（没有比“+”更低的优先级，所以全部出栈），总输出表达式为9 3 1 - 3 * +。然后将当前这个符号“+”进栈。

    h.紧接着数字10，输出，总表达式为9 3 1 - 3 * + 10。后是符号“/”，所以“/”进栈。

    i.最后一个数字2，输出，总的表达式为9 3 1 - 3 * + 10 2。

    j.因已经到最后，所以将栈中符号全部出栈并输出。最终输出的后缀表达式结果为9 3 1 - 3 * + 10 2 / +。

3.后缀表达式计算结果（栈的应用）

   后缀表达式为：9 3 1 - 3 * + 10 2 / +

   规则为：从左到右遍历表达式的每个数字和符号，遇到是数字就进栈，遇到是符号，就将处于栈顶两个数字出栈，进行运算，运算结果进栈，一直到最终获得结果。

   a.初始化一个空栈。此栈用来对要运算的数字进行进出使用。

   b.后缀表达式中前三个是、都是数字，所以9 3 1 进栈。

   c.接下来是“-”，所以将栈中的1出栈作为减数，3出栈作为被减数，并运算3-1得到2，再讲2进栈。

   d.接着是数字3进栈。

   e.后面是“*”，也就意味着栈中3和2出栈，2与3相乘，得到6，并将6进栈。

   f.下面是“+”，所以栈中6和9出栈，9和6相加，得到15，将15进栈。

   g.接着是10和2两数字进栈。

   h.接下来是符号“/”，因此，栈顶的2与10出栈，10与2相除，得到5，将5进栈。

   i.最后一个是符号“+”，所以15与5出栈并相加，得到20，讲20进栈。

   j.结果是20出栈，栈变为空。