递归和动态规划的关系

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动态规划

动态规划的三个特征

1. 适用于最优解问题
2. 有大量的重复子问题
3. 子问题之间有依赖（不独立）

而递归与动态规划的不同在于第2点
这些重复的子问题，DP算法将其结果保存下来，等下一次又要计算该子问题时，直接用已计算好的；而递归却不是这样，它会一遍又一遍地计算这些重复的子问题，从而效率狂降。

总结：

子问题重复率较高的递归算法可改写成动态规划，但不是所有递归算法都适合改成动态规划。

递归和动态规划的关系 举例

自顶向下的动态规划实现：用的递归。
自底向上的动态规划实现：用的迭代。

斐波拉契数列

1.递归实现：效率特别低，指数级的时间复杂度。

int Fibo(int n){    if(n==0)        return 0;    if(n==1)        return 1;    return Fibo(n-1)+Fibo(n-2);}

2.自底向上的动态规划实现：迭代。只要有存储已经计算出的值的空间，就能把这项技术应用到任何递归计算中，就能把算法从指数级运行时间向线性运行时间改进。

int Fibo(int n){    int temp[n+1];    temp[0]=0;    temp[1]=1;    for(int i=2;i<n+1;++i)    {        temp[i]=temp[i-1]+temp[i-2];    }    return temp[n];}

3.自顶向下的动态规划实现：递归。存储它所计算的每一个值(正如下方代码最末的步骤)，并通过检查所存储的值，来避免重新计算它们的任何项(正如最初的步骤)。

#include <iostream>#include <string.h>using namespace std;#define N 12int array[N] = {0};int Fibo(int n){    //不等于初始值0，则表示该元素已经求解过了，直接用其值即可。    if(array[n]!=0)        return array[n];    if(n==0)        return array[n] = 0;    if(n==1)        return array[n] = 1;    if(n>1)        return array[n] = Fibo(n-1)+Fibo(n-2);}int main(){    memset(array,0,sizeof(array));    cout << Fibo(N) << endl;    return 0;}

总结：

在自顶向下的动态规划中，我们存储已计算的每个值。
在自底向上的动态规划中，我们预先计算这些值并存储待用。

我们常常选择自顶向下的动态规划而不选自底向上动态规划，其原因如下：

1. 自顶向下的动态规划是一个自然的求解问题的机械转化。
2. 可能不需要计算所有儿子的解。