Triangle

原题链接：https://leetcode.com/problems/triangle/description/

Description： Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

Solution： 我们可以采用动态规划的方法，用一个二维数组minimum[i][j]表示从triangle[i][j]走到triangle底部的最短路径。这样的状态转移方程是：minimum[i][j] = triangle[i][j] + min(minimum[i+1][j], minimum[i+1][j+1])。

这样，我们只需要从底向上进行遍历即可完成动态规划的过程，最短路径长度为minimum[0][0]。但因为minimum数组是二维的，所以需要O(n^2)的空间。

为此，我们可以将minimum数组减至一维。可以发现，从底向上的动态规划过程中，每一次状态转移后，minimum[i+1][j], minimum[i+1][j+1]都不会再用到。所以，我们可以修改状态转移方程为：minimum[j]= triangle[i][j] + min(minimum[j], minimum[j+1])，其中minimum[j]表示经triangle最后一行第j个元素结束的最短路径长度。这样只需要O(n)的空间。

class Solution {public:    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {        int row = triangle.size();        if (row == 0) return 0;        int n = triangle[row - 1].size();        int minimum[n];        for (int i = 0; i < n; ++i) minimum[i] = triangle[row - 1][i];        for (int i = row - 2; i >= 0; --i) {            for (int j = 0; j <= i; ++j)                minimum[j] = triangle[i][j] + min(minimum[j], minimum[j + 1]);        }        return minimum[0];    }};

复杂度： 当triangle有n行时，时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。