关于称量问题的推论

偶然在论坛上看到这么一个帖子：

 

有11个乒乓球，其中有一个球是伪劣产品并存在质量或轻或重的问题，
现有一没有砝码的天平，【只能称３次】把那个假货给称出来。

 

 

 

开始时，我死活想不到，每次都要用四次方法。

但值得欣慰的是当我完成这道题后，提出了这样的问题：

 

有m个乒乓球，其中有一个球是伪劣产品并存在质量或轻或重的问题，
现有一没有砝码的天平，允许称4次就把那个假货给称出来，则m最多是？

 

更一般的:有m个乒乓球，其中有一个球是伪劣产品并存在质量或轻或重的问题，
现有一没有砝码的天平，允许称n次就把那个假货给称出来，则m最多是？

 

当n=2时，最多是3个，

当n=1时，即使放两个球无法称出，如果只有一个球，也就不需要称量，同时也就不符合实际意义了。

根据上面的求解，知道当n=3时，最多11个。从而推断出这些球的个数为奇数（奇偶效应）

容易想到当n=4时，有21（它可以看做2*11-1）个球可以称出。

可以分成5，5，11

如果平衡，可以转化为当n=3的情况；

如果不平衡，证明剩余11个全都是合格产品，从中任取一个，5，5放到一起，又构成11球，进而也转化成当n=3的情况。

如果在n=4的情况下，放23球或跟多，就没有办法了。

于是，由21的构造方法，归纳出这样一个数列：

n：2, 3 , 4,  5,   6,  7,  8,....

m：3,11,21,41,81,161,321,641,...

 

为了探究其规律，将第一组数据删除，利用MATLAB进行数据拟合。代码如下：

x=3:8;

y=[11,21,41,81,161,321,641];

p=plotfit(x,y,6);

xlabel（'x'）；

ylable（'y'）；

 

plot（x,p,‘-*’）

曲线略

 

下面用数学方法推导：

根据其构造过程，知

后一项比前一项的2倍少一，得道递推数列递推公式。

 

然后，利用不动点法，迭代法及错位相减法

便可得到结果，不妨动手试试。

 

 

 

 

 

对于这个问题，我很感兴趣，我是这样做的，但还不够完善。
首先，把11个球分成三堆，分别为3，3，5 ，把数目是3的两堆分别放到天枰的左右两盘上。
    1.如果天枰倾斜：
    不失一般性，假设左盘下沉，证明剩余五个全都是合格产品。
在5个里面任取出3个，用其替换右盘的3个球，进行第二次称量。
    1.1）.如果天枰平衡，证明不合格产品在被替换的3个球里面，并且推得次品的质量比合格产品轻。
    再取出被替换的3个球中的任意两个球放到天枰的左右两盘上，进行第三次称量。
如果天枰倾斜，不失一般性，假设左盘下沉，则右盘那个就是次品；否则，余下的那个是次品。(*)
    1.2）.如果天枰倾斜，证明次品就在左盘上，并且推得次品质量比合格产品重。
    再利用方法(*),类似得可找到次品。
    2.如果天枰平衡：
    说明此时左右两盘均为合格产品，次品在剩下的一堆里。
在5个里面任取出3个，用其替换右盘的球，进行第二次称量。
    2.1).如果天枰平衡，推得次品在第三堆中剩下的2个产品里，取出1个，
然后以其他9个中任意1个球为砝码，进行第三次称量。
如果天枰倾斜，不失一般性，假设左盘下沉，则左盘那个就是次品，它的质量比合格产品重；否则，未被取的那个是次品，它的质量比合格产品轻。 
    2.2）.如果天枰倾斜，证明次品就在右盘上，并且可以根据哪个盘下沉，推出次品与合格产品的关系。如果左盘下沉，则次品的质量比合格产品轻；否则，次品的质量比合格产品重。 
    再利用方法(*),类似得可找到次品。