数论——同余

定义

同余，就是两个整数a,b对同一个整数p进行模运算，所得的余数相同，那么说这两个整数a,b关于p同余。
我们能够发现，一旦两个整数a,b关于p同余，那么他俩的差就能够被p整除。也就是

a−b=m×k(k∈Z)

相关概念

同余类

如果在模n意义下，a,b同余，那么a,b就属于同一个剩余类。
例如，奇数就是一个同余类。

完全剩余系

我们可以发现，一个模数n有n个不同的同余类，从每一个同余类中各取一个代表，组成的一个集合就是一个完全剩余系。简称完系。
如果这几个代表都>0而且<n，也就是0,1,2,…,n−1，这个完全剩余系我们称为最小非负完系。

缩同余类

如果i和n互质，则同余类Mi中所有数都和n互质（证明可以自己给出，这里先显然吧），那么这个同余类称为缩同余类。

欧拉函数

整数n的缩同余类个数记作φ(n)，我们称之为欧拉函数。

缩剩余系

就是所有的缩同余类中各取一个代表组成的集合。

性质

同余定理

若有a1modn=b1而且a2modn=b2
加法：
(a1+a2)modn=(b1+b2)modn
同样的，减法和乘法都满足上述性质。但是除法并没有简单的同余定理。
但是我们有这个性质：若ac≡bc(modn)，则a≡b(modn(n,c))。由此可以推出：若c和n互质，则有除法的同余定理成立。

性质

若a≡b(modn)而且d!=0则有ad≡bd(modd)n。

幂的同余

1. 完全平方数模9同余0或者1；
2. 完全平方数模8同余0，1，4；
3. 完全平方数模3同余0，1；
4. 完全平方数模5同余0，±1；
5. 完全立方数模9同余0、±1；
6. 整数的四次幂模16同余0、1；
7. 四次幂满足所有平方幂性质，以此类推。

同余思维训练

设a、b、c、d都是正整数，证明a4b+d−a4c+d能被240整除。
证明：
我们先对240进行分解质因数：

240=24×3×5

我们就可以分别证明原式被3、5、16整除。
因为a2≡0,1(mod3)，所以a4b≡a4c≡0,1(mod3)，从而我们可以分类讨论得出：

a4b+d−a4c+d≡0(mod3)

……类似地证明其他几个数的整除关系。