数论之同余

基本性质

后面两个贼有用

• a≡b(modm)⟺a=k∗m+b
• a≡b(modm)∧c≡d(modm)⟹a+c≡b+d(modm)∧a∗c≡b∗d(modm)
• (a+b)modm=((amodm)+(bmodm))modm
• a∗bmodm=((amodm)∗(bmodm))modm

一些题目的分析与证明

• 大整数的求余与二进制字符串模3余数

  • 证明(直接证明通用x进制的字符串对整数m求余)
    假设字符串为A1A2A3...An
    则S=A1∗xn−1+A2∗xn−2+...+An为字符串代表的十进制值
    Smodm=(A1∗xn−1+A2∗xn−2+...+An)modm
    =((A1∗xn−1+A2∗xn−2)modm+(A3∗xn−3...+An)modm)modm
    =((A1∗x+A2)∗xn−2modm+(...)modm)modm
    =(((A1∗x+A2)modm)∗(xn−2modm)modm+(...)modm)modm
    令temp=(A1∗x+A2)modm
    =((temp∗(xn−2modm))modm+(...)modm)modm
    =(((tempmodm)∗(xn−2modm))modm+(...)modm)modm
    =((temp∗xn−2)modm+(...)modm)modm
    =(temp∗xn−2+A3∗nn−3+...+An)modm

  • 由此我们可以看到递推公式temp=(temp∗x+Anext)modm

• 二进制字符串模3余数，同上

• 同余幂，求bnmodm，b和m都较大
  将n表示成二进制串A1A2…An，则bn=b2A1∗(n−1)+...
  用mod的乘法性质和大整数除法类似的证明方法可以得出递推公式
  t=(t∗power)modm
  power=b2Ai∗(n−i)modm即第i项对m的余数，可以通过幂次递增的递推求得

同余的其他一些应用

• 哈希
• 生成伪随机数(比如线性同余xn=(xn−1∗k+c)modm)
• 加密