引理
若 f(x) 在 [a,b] 上有界，
对于区间 [a,b] 的任意一个划分 P， ∀i∈N,1≤i≤n,
令 Mi=sup{f(x):x∈[xi−1,xi],},
mi=inf{f(x):x∈[xi−1,xi]},
定义 S¯¯¯(P)=∑ni=1MiΔxi,
S−−(P)=∑ni=1miΔxi,
记 S¯¯={S¯¯¯(P)},S−−={S−−(P)},
L=inf{S¯¯¯(P):S¯¯¯(P)∈S¯¯},l=sup{S−−(P):S−−(P)∈S−−},
设点 c∈[a,b], ，则 f(x) 在 [a,c],[c,b] 上有界。
对于 区间 [a,c]上的任意一个划分 P1,
同样定义 f(x) 在 [a,c] 上的 S1¯¯¯¯(P1),S1−−(P1), 记 S1¯¯¯¯=S1¯¯¯¯(P1),S1−−=S1−−(P1),
L1=inf{S1¯¯¯¯(P1):S1¯¯¯¯(P1)∈S1¯¯¯¯},l1=sup{S1−−(P1):S1−−(P1)∈S1−−},
对于 区间 [c,b]上的任意一个划分 P2
同样定义 f(x) 在 [c,b] 上的 S2¯¯¯¯(P2),S2−−(P2), 记 S2¯¯¯¯=S2¯¯¯¯(P2),S2−−=S2−−(P2),
L2=inf{S2¯¯¯¯(P2):S2¯¯¯¯(P2)∈S2¯¯¯¯},l2=sup{S2−−(P2):(−P2)∈S2−−},
则： L=L1+L2,l=l1+l2
证明：
对于区间 [a,b] 的任意一个划分 P，
则 P′=P∪{c} 显然也是区间 [a,b] 的一个划分。
1) 若 c∈P, 则 P′=P⇒S¯¯¯(P′)=S¯¯¯(P),
2) 若 c∉P, 则 P′ 可看作为在 P 中插入分点 c 得到的新的划分，因此 S¯¯¯(P′)≤S¯¯¯(P),
由1), 2)得 S¯¯¯(P′)≤S¯¯¯(P),
易知 P′∩[a,c] 是 区间 [a,c] 的一个划分，因此 S1¯¯¯¯(P′∩([a,c])≥L1；
P′∩[c,b] 是 区间 [c,b] 的一个划分，因此 S2¯¯¯¯(P′∩[c,b])≥L2。
又由于 P′=P′∩[a,b]=P′∩([a,c]∪[c,b])=(P′∩[a,c])∪(P′∩[c,b]),
因此 S¯¯¯(P)≥S¯¯¯(P′)=S1¯¯¯¯(P′∩([a,c])+S2¯¯¯¯(P′∩[c,b])≥L1+L2, (1)
由 L1=inf{S1¯¯¯¯(P1):S1¯¯¯¯(P1)∈S1¯¯¯¯},
L2=inf{S2¯¯¯¯(P2):S2¯¯¯¯(P2)∈S2¯¯¯¯},
因此 ∀ε>0, 存在 [a,c] 上的划分 P1, 使得 S1¯¯¯¯(P1)−L1<ε2,
对于上面的的 ε, 存在 [c,b] 上的划分 P2, 使得 S2¯¯¯¯(P2)−L2<ε2,
于是存在 [a,b] 上的划分 P=P1∪P2, 使得 S¯¯¯(P)−(L1+L2)
=[S1¯¯¯¯(P1)+S2¯¯¯¯(P2)]−(L1+L2)
=[S1¯¯¯¯(P1)−L1]+[S2¯¯¯¯(P2)−L2]
<ε2+ε2=ε, (2)
由 (1), (2) 得 L=inf{S¯¯¯(P):S¯¯¯(P)∈S¯¯}=L1+L2,
同理可得 l=l1+l2
性质5 区间可加性
若 f(x) 在 [a,b] 上可积，则对任意点 c∈[a,b],f(x) 在 [a,c] 和 [c,b] 都可积；反过来，若 f(x) 在 [a,c] 和 [c,b] 都可积，则 f(x) 在 [a,b] 上可积。此时成立：
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx
证明：
由引理，f(x) 在 [a,b] 上可积 ⇔L=l
⇔L1+L2=l1+l2
⇔L1=l1,L2=l2 （由于 L1≥l1,L2≥l2）
⇔f(x) 在 [a,c],[c,b] 上都可积。
此时 ∫baf(x)dx=L,
∫caf(x)dx=L1,
∫bcf(x)dx=L2,
因此 ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx
推论
闭区间上只有有限个不连续点的有界函数必定可积。
证明：
设 函数 f(x):[a,b]→R 在 [a,b] 有界，且只有 k∈N 个不连续点 {x1<⋯<xk}，
令 x0=a,xk+1=b,
则 ∀i∈N,1≤i≤k+1,f(x) 在 [xi−1,xi−1+xi2] 有界且最多有一个端点不连续，
由黎曼可积的充分必要条件 (3) 中的推论 3，f(x) 在 [xi−1,xi−1+xi2] 可积。
同理，f(x) 在 [xk+xk+12,xk+1] 可积。
由性质5可得 f(x) 在 [a,b]=⋃i=1k+1[xi−1,xi−1+xi2]∪[xk+xk+12,xk+1] 可积。
