第五章定积分
第五章第一节定积分的概念与性质
一、曲边梯形面积
二、定积分定义
设函数f(x)定义在[a,b]上，若对[a,b]的任一种分法a=x 0 <x 1 <x 2 <⋯<x n =b,令Δx i =x i −x i−1 ,任取ξ i ∈[x i−1 ,x i ],只要λ=max 1≤i≤n {Δx i }→0时,∑ n i=1 f(ξ i )Δx i 总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作∫ b a f(x)dx即 ∫ b a f(x)dx=lim λ→0 ∑ n i=1 f(ξ i )Δx i
a:积分下限b:积分上限f(x):被积函数x:积分变量f(x)dx:被积表达式∑ n i=1 f(ξ i )Δx i 定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关
定积分的几何意义：
f(x)>0,∫ b a f(x)dx=A曲边梯形的面积
f(x)<0,∫ b a f(x)dx=−A曲边梯形面积的负值
∫ b a f(x)dx就是f(x)曲线在区间[a,b]上面积的代数和
可积的充分条件：
定理1.函数f(x)在[a,b]上连续⟹f(x)在[a,b]可积
定理2.函数f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点⟹f(x)在[a,b]可积
三、定积分的性质
1.∫ b a f(x)dx=−∫ a b f(x)dx⟹∫ a a f(x)dx=0
2.∫ b a dx=b−a
3.∫ b a kf(x)dx=k∫ b a f(x)dx(k为常数)
4.∫ b a [f(x)±g(x)]dx=∫ b a f(x)dx±∫ b a g(x)dx
证:左端=lim λ→0 ∑ n i=1 [f(ξ i )±g(ξ i )]Δx i =lim λ→0 ∑ n i=1 f(ξ i )Δx i ±lim λ→0 ∑ n i=1 g(ξ i )Δx i =∫ b a f(x)dx±∫ b a g(x)dx
5.∫ b a f(x)dx=∫ c a f(x)dx+∫ b c f(x)dx
证：
当a<c<b时,
因f(x)在[a,b]上可积,
所以在分割区间时,可以永远取c为分点,
∑ [a,b] f(ξ i )Δx i =∑ [a,c] f(ξ i )Δ(x i )+∑ [c,b] f(ξ i )Δx i
↓令λ→0
∫ b a f(x)dx=∫ c a f(x)dx+∫ b c f(x)dx
当a,b,c的相对位置任意时,例如a<b<c,则有
∫ c a f(x)dx=∫ b a f(x)dx+∫ c b f(x)dx
∫ b a f(x)dx=∫ c a f(x)dx−∫ c b f(x)dx
∫ b a f(x)dx=∫ c a f(x)dx+∫ b c f(x)dx
6.若在[a,b]上f(x)≥0,则∫ b a f(x)dx≥0.
证：
∵∑ n i=1 f(ξ i )Δx i ≥0
∴∫ b a f(x)dx=lim λ→0 ∑ n i=1 f(ξ i )Δx i ≥0
推论1.若在[a,b]上f(x)≤g(x),则∫ b a f(x)dx≤∫ b a g(x)dx
推论2.|∫ b a f(x)dx|≤∫ b a |f(x)|dx(a<b)
证：∵−|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|
∴−∫ b a |f(x)|dx≤∫ b a f(x)dx≤∫ b a |f(x)|dx
即|∫ b a f(x)dx|≤∫ b a |f(x)|dx
7.设M=max [a,b] f(x),m=min [a,b] f(x),则
m(b−a)≤∫ b a f(x)dx≤M(b−a)(积分估值定理)
8.积分中值定理:
若f(x)∈C[a,b],则至少存在一点ξ∈[a,b],使∫ b a f(x)dx=f(ξ)(b−a)
证：设f(x)在[a,b]上的最小值与最大值分别为m,M,则由性质7可得
m≤1b−a ∫ b a f(x)dx≤M
根据闭区间上连续函数介值定理,在[a,b]上至少存在一点ξ∈[a,b],使
f(ξ)=1b−a ∫ b a f(x)dx
说明：
积分中值定理对a<b或a>b都成立.
可把∫ b a f(x)dxb−a =f(ξ)理解为f(x)在[a,b]上的平均值.
内容小结：
1.定积分的定义
2.定积分的性质
3.积分中值定理
