组合数学笔记C8

第8章 Polya计数理论

8.1 引论

1.技术性困难:引入生成函数解出问题通解表达式.
2.概念性困难:定义一个等价关系,计数等价类.以避免重复和遗漏.

8.2 群

def1. 群(G,·):对代数系统(G,·），有：
(1)封闭(2)结合律(3)单位元(4)逆元

结合（2）（4）可得消去律
<Z,+>,<Q,+>,<R,+><Q-{0},><R-{0},>都是群,加法中0为单位元逆元负数，乘法中1为单位元逆元倒数

def2.<G,·>中,若G有限,其的阶数记为|G|,称为有限群,否则为无限群.
def3.子群:集合为原群<G,·>中G的非空子集,运算不变,仍构成群.
def4.平凡子群:对于<G,·>,子群集合H=G或H={e}.

Th.子群与parent群共享单位元(消去律可证).
Th.对于<G,·>,H为G非空子集,满足任a,b∈H,则a·b−1∈H,那么为其子群.
proof:单位元,结合律继承,封闭性可由以上条件推得
Th.设<G,·>为有限群,e为其单位元,H为G的非空子集,任意a,b∈H,都有a⋅b∈H,则为其子群.

def5.循环群之生成元

8.3 置换群

def1.置换:n元有限集合D上的一一映射
置换的复合运算

Th.置换的复合运算满足结合律但不满足交换率

def2. n元有限集合D上的所有置换的集合Sn关于置换的复合运算构成群Sn的阶为n!.Sn称n次对称群,其子群成为n次置换群.
def3.轮换:在置换σ中有k个元素满足轮换,其余元素不变记为长度为k的轮换.

Th.任一置换可表示为不想交的轮换之积,这些轮换可称为原置换的轮换因子.
proof

e.g.4正方体旋转问题:恒等置换1,相对面中心线旋转置换9,相对顶点连线旋转置换8,相对边中心连线旋转置换6,=>1+9+8+6=24种置换,构成8次24阶置换群.

8.4 计数问题的数学模型

有限集合:对象集合D 颜色集合R
对象集合D上置换群G
D到R的映射(对D中全部对象染色方案)全体的集合F—G等价关系—G等价类

def1.有限集合D到R的映射全体记为

F={f|f:D→R}

G是D上的一个置换群,f1和f2是G等价的：存在σ∈D使任一d∈G,f1(d)=f2(σ(d)).

Th. G等价关系是映射全体集合F上的等价关系
proof：自反性，对称性，传递性，因为G是群:单位元(恒等变换),逆元, 封闭性

e.g.1正立方体6面进行红黄两色着色，着色方案全体F={f|f:D→R},其中D={上下左右前后}R={红黄}.f1,f2若是G等价则视为同一着色方案.(G为3.8中e.g.4)
e.g.2长为n的项链用r种颜色涂.着色方案全体为F={f|f:D→R},项链视为D上的n次二面体.

Dn={σI,σ,σ2,...σn−1,τ,τσ...τσn−1}

8.5 Burnside引理

8.5.1共轭类

n次置换群G(Sn的子群)
n阶有限对象集合D—(对象)G−等价关系—G−等价类(k所在等价类记为Ek)
n次对称群Sn—(置换)G共轭关系—G共轭类
映射的集合F—(映射)G等价关系—G等价类
k不动类(使对象k不动的置换构成的G的子群)

def1.共轭类:G为置换集合Sn的子群,对任意s,t∈Sn,存在g∈G,使得s=g−1tg,则称s与t是G共轭的.

Th. G共轭为Sn上等价关系
proof:自反性（恒等变换） 对称性（逆元） 传递性（结合率）
Th.两个置换s，t关于Sn共轭,当且仅当它们同型
proof分解为不相交的轮换积

由于等价关系,Sn中所有同型(关于G共轭)的置换构成一个等价类,记为共轭类

Th.Sn中属于1b12b23b3...nbn型的置换个数为

n!b1!b2!...bn!1b12b23b3...nbn

proof:将{1,2,…n}的全排列填入框架b1∗(x)b2∗(xx)...bn(xxx..x)共有n!个置换,其中Bk个长为k的轮换可以写成k种形式(除以kbk(1≦k≦n)),不相交的轮换乘积可以交换(除以bk!(1≦k≦n)).

8.5.2 k不动置换类

def1. G是{1,2,…,n}上的置换群,则k不动类为G中使元素k保持不动的置换全体

Zk={σ|σ∈G,σ(k)=k}

Th.任意k∈D, Zk是D上置换群G的子群,称为G的k不动置换类
proof:有限群 封闭

8.5.3 等价类

def. k与l是G−等价的:存在σ∈G,使得σ(k)=l.
易证G−为D上的等价关系,由该关系确定的D上的等价类称为G 诱导出的等价类,元素k所在的等价类记为Ek

NOTE:(任意的k,l∈D,D={1,2…,n}),即这里k,l都是D中的元素,而非G中的置换
Th.如上定义的G,Zk,Ek满足

|Ek|⋅|Zk|=|G|(1≦k≦n)

proof:

8.5.4 Burnside引理

Th.(Burnside引理) 设G={a1,a2,...,ag}是{1,2,…,n}上的置换群(含有g个置换),则G诱导的等价类个数为

l=1|G|∑i=1gc1(ai),

其中c1(ai)表示置换ai作用下保持不变的元素个数.
proof:

8.6 映射的等价类

赋权:对颜色赋权,R中的每个元素ci赋一个权w(ci),可以是数字或字母,通过加法(+)和连接(·)运算,满足交换律和结合率.
def.映射f的权是是所有项的的权的连接

w(f)=∏d∈Dw(f(d))

映射集合F的子集F’的权为

w(F′)=∑f∈F′w(f).

**Th.**F中两个映射f1,f2是G等价=>w(f1)=w(f2)(充分不必要条件).

def.映射集合F中同一等价类的权相同,可以由此定义等价类的权(简称模式).

Th.有限集合D到R上映射集合F,若对D进行k划分(同一划分下元素在F中映射必须相同),则F中映射构成的模式表为

∏i=1k(∑r∈Rw(r)Di).

8.7 Polya映射定理