随笔-贪心算法(bzoj 1034,bzoj 1028)

今天看了几道贪心的题目，这种让我一直以为比较水的算法却是半天没啥思路，重新重视起来，这种类型的题目虽说是找到贪心条件后非常容易，但是却没有基本规律可循；

所以选了两道题目记录一下，希望自己可以悟出一些东西来，这种题目也是偏容易，所以网上的题解一般解释都很简单，只是说了方法，我在这里会分享一下自己的思考过程；

第一题：

[ZJOI2008]泡泡堂BNB

Description

　　第XXXX届NOI期间，为了加强各省选手之间的交流，组委会决定组织一场省际电子竞技大赛，每一个省的代表
队由n名选手组成，比赛的项目是老少咸宜的网络游戏泡泡堂。每一场比赛前，对阵双方的教练向组委会提交一份
参赛选手的名单，决定了选手上场的顺序，一经确定，不得修改。比赛中，双方的一号选手，二号选手……，n号
选手捉对厮杀，共进行n场比赛。每胜一场比赛得2分，平一场得1分，输一场不得分。最终将双方的单场得分相加
得出总分，总分高的队伍晋级(总分相同抽签决定)。作为浙江队的领队，你已经在事先将各省所有选手的泡泡堂水
平了解的一清二楚，并将其用一个实力值来衡量。为简化问题，我们假定选手在游戏中完全不受任何外界因素干扰
，即实力强的选手一定可以战胜实力弱的选手，而两个实力相同的选手一定会战平。由于完全不知道对手会使用何
种策略来确定出场顺序，所以所有的队伍都采取了这样一种策略，就是完全随机决定出场顺序。当然你不想这样不
明不白的进行比赛。你想事先了解一下在最好与最坏的情况下，浙江队最终分别能得到多少分。

Input

　　输入的第一行为一个整数n，表示每支代表队的人数。接下来n行，每行一个整数，描述了n位浙江队的选手的
实力值。接下来n行，每行一个整数，描述了你的对手的n位选手的实力值。 20％的数据中，1<=n<=10； 40％的数
据中，1<=n<=100； 60％的数据中，1<=n<=1000； 100％的数据中，1<=n<=100000，且所有选手的实力值在0到100
00000之间。

Output

　　包括两个用空格隔开的整数，分别表示浙江队在最好与最坏的情况下分别能得多少分。不要在行末输出多余的
空白字符。

Sample Input

2
1
3
2
4

Sample Output

2 0
样例说明
我们分别称4位选手为A,B,C,D。则可能出现以下4种对战方式，最好情况下可得2分，最坏情况下得0分。
一 二 三 四
浙江 ??? 结果 浙江 ??? 结果 浙江 ??? 结果 浙江 ??? 结果
一号选手 A C 负 A D 负 B C 胜 B D 负
二号选手 B D 负 B C 胜 A D 负 A C 负
总得分 0 2 2 0

第一个题目是很经典的一道贪心题，但是一开始我的思路是一个正排一个倒排一个一个比，思路来源于田忌赛马的想法，但是我考虑的并不周全，这种方式会有很多错误的选择，主要是会用过于高的数字赢过于低的数字，“大材小用”，导致很多本应该打赢的情况导致打平或打输。

所以若是想得到最高的分数，要尽量用数字赢过尽量接近于自己的数字，不浪费；

而没有比自己小的数字时，这个数字已经是最小的了，那么就让它换掉对面最大的数字，为自己创造有利环境；

所以思路就是两串数字排序后，用最小先比最小的，比不过最大的比最大的，再比不过就可以用自己最小的和对面最大的换了；

代码如下：

/**************************************************************    Problem: 1034    User: julyxunle    Language: C++    Result: Accepted    Time:516 ms    Memory:2068 kb****************************************************************/ #include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#include<string>#include<vector>#include<bitset>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<set>#include<list>#include<deque>#include<map>#include<queue>#define ll long long#define BIG 100050#define INF 0x3f3f3f3f#define mod 1000000007using namespace std;int a[100005],b[100005],n;int best(int a[],int b[]){    int l1=0,r1=n-1,l2=0,r2=n-1,ans=0;    while(l1<=r1&&l2<=r2)    {        if(a[l1]>b[l2]){ans+=2;l1++;l2++;}        else if(a[r1]>b[r2]){ans+=2;r1--;r2--;}        else {ans+=(a[l1]==b[r2]);l1++;r2--;}    }    return ans;}int main(){    int maxn,minn,i;    cin>>n;    for(i=0;i<n;i++)    {        cin>>a[i];    }    for(i=0;i<n;i++)    {        cin>>b[i];    }    sort(a,a+n);    sort(b,b+n);    maxn=best(a,b);    minn=2*n-best(b,a);  //这里最差情况相当于对面最好情况，用全胜得分减去对面得分就是自己得分    cout<<maxn<<" "<<minn<<endl;}

以上代码是网上几乎都在用的公认正确代码，但是我在思考时产生了两个个想法：

1.如果自己最小的和对面最小的比较比不过，那么他为什么不去直接和对面最大的换掉，自己最大的不就少了竞争对手？

这个思路是错误的，因为如果自己最小的可以和对面最小的打平，而自己最大的可以打过对面最大的，那么就失去了打平的分数了；

反例样例:

80 0 0 0 2 3 4 50 0 0 0 1 2 3 4

这个结果应该是12，但是我的思路结果却是8。

2.那么如果自己最小的和对面最小的比较比不过，那么看他们会不会打平，如果打平就打平，打不平就换掉对面最大的，这样不就可以了吗？

这个思路也是不正确的，如果自己最小的可以和对面最小的打平，而自己较大的打不过对面较大的，那么就失去了大的欺负小的的机会了；

反例样例:

80 0 0 0 1 2 3 40 0 0 0 2 3 4 5

会发现这组反例就是上面的反置版本，结果应该是10，但是我的思路结果却是7。

综上，两种想法似乎都是每一次都在选择最好的选择，非常符合贪心算法所强调的最优，但是却不是绝对正确的，这个反例我也是思考了很久，希望可以引以为戒。

第二题：

[JSOI2007]麻将

Description

　　麻将是中国传统的娱乐工具之一。麻将牌的牌可以分为字牌（共有东、南、西、北、中、发、白七种）和序数
牌（分为条子、饼子、万子三种花色，每种花色各有一到九的九种牌），每种牌各四张。在麻将中，通常情况下一
组和了的牌（即完成的牌）由十四张牌组成。十四张牌中的两张组成对子（即完全相同的两张牌），剩余的十二张
组成三张一组的四组，每一组须为顺子（即同花色且序数相连的序数牌，例如条子的三、四、五）或者是刻子（即
完全相同的三张牌）。一组听牌的牌是指一组十三张牌，且再加上某一张牌就可以组成和牌。那一张加上的牌可以
称为等待牌。在这里，我们考虑一种特殊的麻将。在这种特殊的麻将里，没有字牌，花色也只有一种。但是，序数
不被限制在一到九的范围内，而是在1到n的范围内。同时，也没有每一种牌四张的限制。一组和了的牌由3m + 2张
牌组成，其中两张组成对子，其余3m张组成三张一组的m组，每组须为顺子或刻子。现给出一组3m + 1张的牌，要
求判断该组牌是否为听牌（即还差一张就可以和牌）。如果是的话，输出所有可能的等待牌。

Input

　　包含两行。第一行包含两个由空格隔开整数n, m (9<=n<=400, 4<=m<=1000)。第二行包含3m + 1个由空格隔开
整数，每个数均在范围1到n之内。这些数代表要求判断听牌的牌的序数。

Output

　　输出为一行。如果该组牌为听牌，则输出所有的可能的等待牌的序数，数字之间用一个空格隔开。所有的序数
必须按从小到大的顺序输出。如果该组牌不是听牌，则输出"NO"。

Sample Input

9 4
1 1 2 2 3 3 5 5 5 7 8 8 8

Sample Output

6 7 9

这道题目就很有意思了，题目要求没打过麻将的我看了有一会，要求是问给哪一张牌可以和牌，而和牌的条件是：

1.有一个对子，例如“1,1”；

2.剩下的都是顺子（例如“1,2,3”）或刻子（例如“1,1,1”）；

这个就是一个一个试牌，先统计每种牌的张数，如果牌放进去可以和那么这张牌就成立，对子的话就每种牌都试一次，构造一个二重循环，外循环放牌，内循环取对子，每次都判断剩下的能不能组成顺子或刻子；

这就是难点，这些牌的数量都不固定，怎么判断才能在不组成错误的顺子对子的情况下使得答案正确呢？乍一看上去很难，让我想使用状态压缩dp或递归搜索却无从下手，其实冷静下来分析，如果没有思绪的话，或许有简单的判断方法，猜想贪心可以使用吗，贪心无非就两种方式：

1.优先判断顺子；

2.优先判断刻子；

思考后发现，如果一张牌的牌数不足以组成刻子（也就是牌数不是3的倍数），那么这种牌必然会与其他牌组成顺子，不然这组牌不符合条件，而如果从最小的牌i开始搜的话，除去它组成刻子的牌，剩下的牌i+1,i+2必须与它组成顺子（这里我还疑虑了一下如果本来应该是顺子的牌变成刻子怎么办，稍微一想就知道不会发生，因为能组成刻子的牌要想变成顺子就需要另外两张牌也具备组成刻子的条件，此时刻子与顺子是一样的），那么思路就是：

1.优先判断刻子；

2.不够刻子的全部组成顺子；

代码如下：

/**************************************************************    Problem: 1028    User: julyxunle    Language: C++    Result: Accepted    Time:536 ms    Memory:1292 kb****************************************************************/ #include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#include<string>#include<vector>#include<bitset>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<set>#include<list>#include<deque>#include<map>#include<queue>#define ll long long#define BIG 100050#define INF 0x3f3f3f3f#define mod 1000000007using namespace std; int cnt[500],n,m,res[500];bool check(){    int t[500],i;    for(i=1;i<=n;i++)    {        t[i]=cnt[i];    }    t[i]=t[i+1]=0;    for(i=1;i<=n;i++)    {        if(t[i]<0) return 0; //如果某张牌缺少了，代表不成立        t[i]%=3;        t[i+1]-=t[i];  //这里是不够刻子的组成顺子        t[i+2]-=t[i];    }    if(t[i]!=0||t[i+1]!=0)  //这两种牌是不存在的，为了判断这组牌的正确性，学习别人代码后知道这叫"哨兵"        return 0;    return 1;}int main(){    int i,j,k,flag,a;    cin>>n>>m;    for(i=0;i<1+3*m;i++)    {        cin>>a;        cnt[a]++;    }    k=0;    for(i=1;i<=n;i++)    {        flag=0;        cnt[i]++; //这里加入i牌        for(j=1;j<=n;j++)        {            cnt[j]-=2;  //j牌拿出一对子            if(check())                flag=1;            cnt[j]+=2;  //回溯            if(flag)                break;  //这里如果得到正确结果了，就结束循环并保存（保存在下方）        }        if(flag)        {            res[k++]=i;        }        cnt[i]--;  //回溯    }    if(k!=0)    {        for(i=0;i<k;i++)        {            if(k-i!=1)                cout<<res[i]<<" ";            else                cout<<res[i]<<endl;        }    }    else        cout<<"NO"<<endl;}

这两道题算是简单题，也是比赛中需要快速做出的题目，但是确实有一些陷阱或是容易钻牛角尖的地方，这就需要多熟练和锻炼灵活的思维了，攻克难题的同时也不能忘记对容易题的快速判断和正确率，这里记录一波引以为戒。