最短路(Floyd、Dijstra,BellmanFord)

一、Dijstra

1）算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2）算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则 < u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则< u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图

代码：

void testDijkstra(){    const int N = 6;    vector< vector<int> > dist = {        { 0, 7, 9, INT_MAX, INT_MAX, 14 },        { 7, 0, 10, 15, INT_MAX, INT_MAX },        { 9, 10, 0, 21, INT_MAX, 2 },        { INT_MAX, 15, 21, 0, 6, INT_MAX },        { INT_MAX, INT_MAX, INT_MAX, 6, 0, 9 },        { 14, INT_MAX, 2, INT_MAX, 9, 0 }    };    vector<int> visited = { 1, 0, 0, 0, 0, 0 };    vector<int> mindist = { 0, INT_MAX, INT_MAX, INT_MAX, INT_MAX, INT_MAX };    vector<int> prev = { 0, -1, -1, -1, -1, -1 };    int currentNode = 0;         //当前节点，去更新最短路径    int nodeleave = N - 1;    while (nodeleave > 0)    {        int minDist = INT_MAX;   //寻找剩余节点中的最短路径        int next = N;           //剩余节点最短路径的节点        for (int i = 0; i < N; ++i)                  {            if (visited[i] !=1)            {                if (dist[currentNode][i] != INT_MAX)                {                    if (dist[currentNode][i] + mindist[currentNode] < mindist[i])   //更新最短路径                    {                        mindist[i] = dist[currentNode][i] + mindist[currentNode];                        prev[i] = currentNode;                    }                }                if (mindist[i] < minDist)                {                    minDist = mindist[i];                    next = i;                }            }        }        currentNode = next;        --nodeleave;        visited[currentNode] = 1;    }    for (int i = 0; i < N; ++i)    {        cout << i<<"   prev:" << prev[i] << "\t distance:" << mindist[i] << endl;    }    cout << endl;}

2、Floyd
基本思想就是：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1和2号顶点进行中转……允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路程。用一句话概括就是：从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。其实这是一种“动态规划”的思想！

动态转移方程：dp[k][i][j]=min(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j]

for(k=1;k<=n;k++)       //允许通过1-k节点     for(i=1;i<=n;i++)    //源节点         for(j=1;j<=n;j++)   //目标节点             if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])                 e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];

3、Bellman-Ford算法
Bellman-ford算法是求含负权图的单源最短路径算法，效率很低，但代码很容易写。即进行不停地松弛（relaxation），每次松弛把每条边都更新一下，若n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负环(即负权回路，本文最后有解释)，无法得出结果，否则就成功完成。Bellman-ford算法有一个小优化：每次松弛先设一个旗帜flag，初值为FALSE，若有边更新则赋值为TRUE，最终如果还是FALSE则直接成功退出。Bellman-ford算法浪费了许多时间做无必要的松弛，所以SPFA算法用队列进行了优化，效果十分显著，高效难以想象。SPFA还有SLF，LLL，滚动数组等优化。

 　Dijkstra算法中不允许边的权是负权，如果遇到负权，则可以采用Bellman-Ford算法。

　　Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下（存在负权边）解决单源点最短路径问题。对于给定的带权（有向或无向）图 G=（V,E），其源点为s，加权函数w是 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到 图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

　　适用条件&范围

　　1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

　　2.有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

　　3.边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

　　4.差分约束系统;

　　Bellman-Ford算法描述：

　　1,.初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;

　　2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）

　　3.检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

　　描述性证明：

　　首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。

　　其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。

　　在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边，所以，只需要循环|v|-1 次。

　　每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，怎么优化？单纯的优化是否可行？）

　　如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。

　　如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。

负权回路

在一个图里每条边都有一个权值（有正有负)
如果存在一个环（从某个点出发又回到自己的路径），而且这个环上所有权值之和是负数，那这就是一个负权环，也叫负权回路
存在负权回路的图是不能求两点间最短路的，因为只要在负权回路上不断兜圈子，所得的最短路长度可以任意小。（转自百度知道）

代码实现：

　　Bellman-ford算法的运行时间为O（VE），V为顶点数，E为边数

/*************************************************************************    > File Name: Bellman_ford.cpp    > Author: He Xingjie    > Mail: [e-mail]    > Created Time: 2014年06月08日 星期日 22时33分07秒    > Description:  ************************************************************************/#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;#define INF 99999int map[100][100], dist[100];bool Bellman_ford(int n, int s){    int v, u;    for (v=1; v<n; v++)    {        if (map[s][v] == INF)            dist[v] = INF;        else            dist[v] = map[s][v];    }    dist[s] = 0;    for (v=1; v<n; v++)        for (u=0; u<n; u++)            if (map[u][v] < INF)  //u->v has path                if (dist[v] > dist[u] + map[u][v])                    dist[v] = dist[u] + map[u][v];    //遍历所有的边    for (v=0; v<n; v++)        for (u=0; u<n; u++)            if (v != u && map[u][v] != INF)                if (dist[v] > dist[u] + map[v][u])                    return false;    return true;}void PrintMap(int n){    int i, j;    //输出矩阵    for (i=0; i<n; i++)    {        for (j=0; j<n; j++)        {            if (map[i][j] == INF)                printf("INF ");            else                printf("%d  ", map[i][j]);        }        printf("\n");    }}void PrintShortestValue(int n){    int i;    for (i=1; i<n; i++)        printf("%d:%d ", i, dist[i]);    printf("\n");}int main(){    int n, m, i, j;    freopen("input.txt", "r", stdin);    cin>>n>>m;    //n是顶点数，m是边数    //初始化    for (i=0; i<n; i++)    {        for (j=0; j<n; j++)            map[i][j] = INF;    }    //输入    for(int i=1; i<=m; i++)    {        int i,j;        cin>>i>>j;        cin>>map[i][j];    }    PrintMap(n);    Bellman_ford(n, 0);    PrintShortestValue(n);    return 0;}