最短路（Dijstra算法）

来源：互联网发布：usm锐化算法编辑：程序博客网时间：2024/05/16 02:01

一，问题基本概念：

最短路问题：若网络中的每条边都有一个数值（长度，时间，成本等），则找出两点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。

单源最短路：可以采用Dijkstra算法（但是只可以求无负权的最短路径），时间复杂度为O(|V|^2），如果图中又负权贿赂，可以采用Bellman-Ford算法（但是它回浪费许多时间做不必要的松弛），算法复杂度为O(|V||E|)，还可以用SPFA算法进行优化（使用队列进行的优化），时间复杂度为O(k|E|)。

二，各种算法：Dijstra算法：

基本思路：1），参数与返回值：dij算法是单元最短路所以我们需要告诉dij函数你的源点（s）是哪一个结点，然后函数执行完后dis数组中存放的就是s到图中所有结点的最短距离，如果不连通的话会返回极大值。

2），初始化：在初始化过程中我们要定义vis数组--用来记录已经访问过的结点，并且清零。然后给dis数组赋初值INF（S点为0），表示初始情况下源点到除自己之外的所有点都为无穷大。

3），算法主体：我们执行n次循环，每次从dis数组中选出一个值最小的结点标记，并且标记此节点，对这个结点所连接的每一条边进行松弛

if(mindis+Map[min][j]<dis[j]&&Map[min][j]!=INF&&vis[j]==0)

dis[j]=mindis+Map[min][j];

三，过程：

每次选择一个未访问过的到已经访问过（标记为Known）的所有点的集合的最短边，并用这个点进行更新，过程下：

Dv为最短路，而Pv为前面的顶点。

1. 初始

Known

∞

2. 在v1被标记为已知后的表

Known

∞

3. 下一步选取v4并且标记为known，顶点v3,v5,v6,v7是邻接的顶点，而他们实际上都需要调整。如表所示:

Known

4. 接下来选取v2,v4是邻接点，但已经是known的，不需要调整，v5是邻接的点但不做调整，因为经过v2的值为2+10=12而长为3的路径已经是已知的。

Known

5. 接下来选取v5，值为3，v7 3+6>5不需调整，然后选取v3，对v6的距离下调到3+5=8

Known

6. 再选下一个顶点是v7，v6变为5+1=6

Known

7. 最后选取v6

Known

四，算法所有代码：

1 /**************************************** 2      Dijkstra O(n^2) 单元最短路算法 3      邻接矩阵         4                   5 *****************************************/ 6 #include <iostream> 7 #include <cstdio> 8 #include <string.h> 9 #define INF 0x3f3f3f3f10 #define LEN 101011 using namespace std;12 13 int Map[LEN][LEN], dis[LEN], n, m;14 15 void Dijkstra(int s)16 {17     int vis[LEN] = {0};18     for(int i=1; i<=n; i++)19         dis[i] = INF;//初始化为最大值20     dis[s] = 0;21     for(int i=0; i<n ;i++)22     {23         int min, mindis = INF;24         for(int j=1; j<=n; j++)25             if(dis[j]<mindis && vis[j] == 0)//如果它的距离小于INF，并且该点没有被遍历过26             {27                 mindis = dis[j];28                 min = j;//权值与最大值比较，若比他小，则进行赋值，并记录下该点29             }30         vis[min] = 1;31         for(int j=1; j<=n; j++)32             if(mindis+Map[min][j]<dis[j] && Map[min][j]!=INF && vis[j]==0)//进行松弛操作33                 dis[j] = mindis+Map[min][j];34     }35 }36 37 38 int main()39 {40 //    freopen("in.txt", "r", stdin);41     return 0;42 }

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