数论基础 (费马小定理/扩展欧几里得/欧拉函数)

逆元：

a*x  == 1（mod m）

x是相对于m的a的逆元

a是相对于m的x的逆元

拓展欧几里得：

(证明过程参考自百度百科)

原式: ax+by=gcd(a,b)(假设a≥b)

• 当b=0时有gcd(a,b)=a,此时x=1,y=0

• 当b不为0时,根据欧几里得定理gcd(a,b)=gcd(b,amodb)可得ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,amodb)=bx′+(amodb)y′,即 
  

  ax+by=bx′+(amodb)y′=bx′+(a−b∗⌊a/b⌋)y′
  
  移项得 
  
  ax+by=bx′+(amodb)y′=ay′+b(x′−⌊a/b⌋y′)
  
  根据恒等定理,有 
  
  {x=y′y=x′−⌊a/b⌋y′
  
  这有什么用呢?x′和y′还是不知道呀. 
  重新来看看我们得到的两个等式.x和y是gcd(a,b)=ax+by的解,而x’和y’是在对gcd(a,b)按欧几里德算法进行一步后的结果对应的贝祖等式gcd(b,amodb)=bx′+(amodb)y′的解.也就是说,gcd(a,b)对应的贝祖等式的解x,y可以由gcd(b,amodb)对应等式的解x’,y’计算得出 
  由于欧几里德算法最后一步为gcd(d,0)=d,此时对应的等式的解为x=1,y=0,因此只要如上述代码,从gcd(d,0)往前处理,在进行欧几里德算法的递归的时候根据相邻两次调用间x,y和x’,y’的关系计算即可求出ax+by=gcd(a,b)的解.

更进一步,对于任意不定式ax′+by′=c,只需要在等式ax+by=gcd(a,b)=d两边乘上c/d即可得到解为x′=x∗c/d,y′=y∗c/d

如何得到所有解? 
实际上在之前的计算和证明中我们得到的只是不定方程的一组解,那么怎样得到所有解呢?对于一般形式ax+by=c有通解x=p+kb,y=q−ka(k为任意整数).(证明略,只要代入一下就知道为什么通解是这个了)

int extend_GCD(int a,int b,int &x,int &y){    int tmp,d;    if(b==0){        x=1;        y=0;        return a;    }    int res=extend_GCD(b,a%b,x,y);    tmp = x;    x = y;    y = tmp - (a/b)*y;    return res;}

void Extend_Gcd(int a,int b,int &n,int &x,int &y){    if(!b){        n=a,x=1,y=0;        printf("1:%d %d\n",x,y);    }else{        Extend_Gcd(b,a%b,n,y,x);        y-=x*(a/b);        printf("---%d %d\n",x,y);    }}

费马小定理：

p与m互质:

gcd(p, m) == 1

p*(p^(m-1)) == 1(mod m);

快速幂求解即可

欧拉函数：

积性函数：对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

完全积性函数：对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

欧拉函数定义 ：

φ(n) ： 比n小的与n互质的数的个数 （φ(1) = 1）

欧拉函数性质：

性质一

对于一个质数n，φ(n)=n−1。 
证明： 
因为n是质数。

性质二

若n=pk，则φ(n)=pk−pk−1=(p−1)pk−1。 
证明： 
因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

性质三

当gcd(n,m)=1时，φ(nm)=φ(n)∗φ(m) 
证明： 
φ(n)是积性函数。

性质四

设n=pk11∗pk22...∗pkmm，则φ(n)=n∗(1−1p1)∗(1−1p2)∗...(1−1pm) 
证明： 
根据性质二 

φ(n)=∏(pi−1)pki−1i(pi|n)=n∏(1−1p1)(直接把n提出来)

当然也可以用容斥的想法去理解。

性质五

欧拉定理：对于互质的整数a,m有aφ(m)≡1(modm)。 
证明： 
这小于n且与n互质的集合时Z，显然|Z|=φ(n)，Z={p1,p2...pφ(n)}。 
令集合S={a∗p1modn,a∗p2modn...a∗pφ(n)modn}。 
因为： 
     1. 因为a与n互质，pi与n互质，所以a∗pi与n互质，所以a∗p1modn∈Z

     2. 若i≠j，那么a∗pimodn≠a∗pjmodn 
     反证： 
          假如a∗pimodn=a∗pjmodn ，设a∗pi=ki∗n+b 
          那么 

a∗pi=ki∗n+b=a∗pj=kj∗n+ba∗(pi−pj)=n∗(ki−kj)

          因为a与n互质，即n|(pi−pj)，不成立。 
所以S=Z。 
由此我们可以列出等式： 

a∗p1∗a∗p2...∗a∗pφ(n)aφ(n)≡p1∗p2...pφ(n)(modn)≡1(modn)

延伸： 
费马定理：如果正整数a与p互质，则ap−1≡1(modp)。 
证明：由性质一可得φ(p)=p−1，代入欧拉定理即可

性质六

设小于n的所有与n互质的数的和为Sum，Sum=n∗φ(n)2 
证明： 
     首先证明一个结论：如果gcd（n,i）=1则gcd（n,n−i）=1。 
     反证法：如果存在k≠1使gcd（n,n−i）=k，那么 
     (n−i)modk=0，nmodk=0 
     可得imodk=0，即gcd（n,i）=k，也就是说如果gcd（n,i）=1，那么gcd（n,n−i）就不能大于1。

那么就可以得知与n互质的数都是成对存在的，并且和为n，那么就可以得出Sum=n∗φ(n)2的公式。

性质七

首先p是个质数。如果imodp=0，那么φ(i∗p)=p∗φ(i)（结论一），否则φ(i∗p)=φ(i)∗(p−1)（结论二）。 
证明： 
对于第一个结论我们只需证明gcd(n,m)=1可以得出gcd(n,m+n)=1即可。 
     反证法：假设gcd(n,m+n)=b(b≠1)。设n+m=k1b,m=k2b。 

k2b+n=k1bn=(k1−k2)b

     所以gcd(n,m)至少等于b。 
     得证。

对于第二个结论，我们可知由于gcd(i,p)=1，φ(i∗p)=φ(p)∗φ(i)，并且φ(p)=p−1(性质一，性质三)，得证。

性质八

直接给式子吧… 
n=∑d|nφ(d) 
根据上面那条式子可以继续推点显而易见的东西 

∑i=1ni=∑i=1n∑d|iφ(d)=∑d=1nφ(d)∗⌊nd⌋

反演一下，φ(n)=∑d|nμ(d)∗nd

欧拉函数应用：

线筛φ函数：

应用1：

phi(p) == p-1 因为素数p除了1以外的因子只有p，所以与p 互素的个数是p - 1个

 

应用2：

phi(p^k) == p^k - p^(k-1) == (p-1) * p^(k-1)

证明：

令n == p^k,小于 n 的正整数共有 p^k-1 个,其中与p 不互素的个数共p^(k-1)-1 个，它们是1*p,2*p,3*p ... (p^(k-1)-1)*p

所以phi(p^k) == (p^k-1) - (p^(k-1)-1) == p^k - p^(k-1) == (p-1) * p^(k-1)。

 

应用3：

如果i mod p == 0, 那么 phi(i * p) == p * phi(i)

[1,i ]中与i不互质的数是i-phi(i)个，[1,i*p]中是i*p-p*phi(i)个，

又i与i*p没有不同的因数，顾[1,i*p]中与i*p不互质的也是i*p-p*phi(i)个，

举个例子：

假设 p = 3,i = 6,p * i = 18 = 2 * 3^2;

phi(3 * 6) == 18*(1-1/2)*(1-1/3) = 6

p * phi(i) = 3 * phi(6) = 3 * 6 * (1-1/2) *  (1-1/3) = 6 = phi(i * p) 正确

 

应用4：

如果i mod p != 0, 那么 phi(i * p) == phi(i) * (p-1)

证明：

i mod p 不为0且p为质数,所以i与p互质,那么根据积性函数的性质 phi(i * p) == phi(i) * phi(p)其中phi(p) == p-1

所以 phi(i * p) == phi(i) * (p-1).

再举个例子：

假设i = 4, p = 3, i * p = 3 * 4 = 12

phi(12) = 12 * (1-1/2) * (1-1/3) = 4

phi(i) * (p-1) = phi(4) * (3-1) = 4 * (1-1/2) * 2 = 4 = phi(i * p)正确