模板整理:数论---组合数/欧几里得/孙子定理/费马小定理/欧拉定理及相关

对于组合数C(n,m)，意为在n个球中任取m个的方案数，
当n < m时C(n,m)=0，
当n>=m时，

C(n,m)=n!m!(n−m)!

组合数的递推式，通常用的一种：

C(n,m)=C(n−1,m−1)+C(n−1,m)

讨论第n个球取不取即可得出递推式。

通常计算组合数C(n,m)%P，有以下几种方法，
可以根据数据特性和范围来选择：
1.n,m较小时，直接用递推式/定义式计算
2.P为素数时，对于定义式分母里的m!(n−m)!
求它对于P的逆元，就可以直接计算了
3.P为素数且P较小时，用Lucas定理计算

Lucas定理(当P为质数)：C(n,m)=C(n%P,m%P)∗C(n/P,m/P)

那么可以递归计算，当n<P且m<P，直接预处理出P内的阶乘逆元等
就可以求了，非常快……似乎是log级别的
4.P不是素数，那只能用扩展Lucas定理了
假设P=pa11∗pa22∗……∗pakk，pi为素数且pi互不相同

扩展Lucas定理求出C(n,m)%paii=ansi，由于paii两两互质，所以用中国剩余定理（孙子定理）合并即可。

这里引出孙子定理：

中国剩余定理对于w个同余方程n=xi(mod  pi)当所有pi两两互质的时候，令M=p1∗p2∗……∗pw，mi=M/pi则分别求出mi对于pi的逆元ai，答案就是∑xi∗ai∗mi    (%M)

于是问题变成C(n,m)%paii，pi是一个质数
这可以根据定义式来，计算阶乘%paii
阶乘%paii可以分组，比如19!%32（好像都是这个例子……）
19!=1∗2∗3∗4∗5∗6∗7∗8∗9∗10∗11∗12∗13∗14∗15∗16∗17∗18∗19
=(1∗2∗4∗5∗7∗8)∗36∗(1∗2∗4∗5∗7∗8)∗19
(%32)
发现中间括号内的部分是重复的，而且长度不超过pcii
19这种多余项个数不超过pcii
36是直接计算来的，即⌊npi⌋
当然先要把所有pi的因子提取出来，最后再乘上去
∗∗∗注意！如果ci=1，直接Lucas即可，扩lucas会慢到飞！∗∗∗
bzoj2142，扩展Lucas的模板题

#include<bits/stdc++.h>#define ll long longusing namespace std;const int     MAX=100000;ll n,mod;int pcnt,len;ll prime[6000],p[10000],pk[10000],c[10000];bool notprime[MAX];void Get_Prime(){    notprime[1]=1,pcnt=0;    for (int i=2;i<=MAX;i++){        if (!notprime[i]) prime[++pcnt]=i;        for (int j=1;j<=pcnt;j++){            if (prime[j]*i>MAX) break;            notprime[prime[j]*i]=1;            if (!(i%prime[j])) break;        }    }}void FenJie(ll x){    len=0;int j=1;    while (x!=1){        if (x%prime[j]==0){            p[++len]=prime[j],c[len]=0;            pk[len]=1;            while (x%prime[j]==0)                c[len]++,x/=prime[j],pk[len]*=prime[j];        }        j++;    }}ll ksm(ll x,ll y,ll mod){    ll z=1LL;    while (y){        if (y&1LL) z=z*x%mod;        y>>=1LL;        x=x*x%mod;    }    return z;}ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){    if (!b){        x=1LL,y=0LL;        return a;    }    ll tt=exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;    x=y,y=tmp-a/b*y;    return tt;}ll inv(ll a,ll b){    ll t1,t2;    exgcd(a,b,t1,t2);    t1=(t1+b)%b;    return t1;}ll Fac(ll n,ll pi,ll pk){    if (!n) return 1LL;    ll t=1LL;    if (n/pk){        for (ll i=2;i<=pk;i++)            if (i%pi) t=t*i%pk;        t=ksm(t,n/pk,pk);    }    for (ll i=2;i<=n%pk;i++)        if (i%pi) t=t*i%pk;    return t*Fac(n/pi,pi,pk)%pk;}ll Lucas(ll n,ll m,ll pi,ll pk){    if (n<m) return 0LL;    ll x=Fac(n,pi,pk),y=Fac(m,pi,pk),z=Fac(n-m,pi,pk);    ll t=0LL;    for (ll a=n;a;a/=pi) t+=a/pi;    for (ll a=m;a;a/=pi) t-=a/pi;    for (ll a=n-m;a;a/=pi) t-=a/pi;    return x*ksm(pi,t,pk)%pk*inv(y,pk)%pk*inv(z,pk)%pk;}ll C(ll n,ll m){    ll t=0LL,t1;    for (int i=1;i<=len;i++){        t1=Lucas(n,m,p[i],pk[i]);        t1=t1*(mod/pk[i])%mod*inv(mod/pk[i],pk[i])%mod;        t=(t+t1)%mod;    }    return t;}int main(){    Get_Prime();    scanf("%lld",&mod);    FenJie(mod);int m;    scanf("%lld%d",&n,&m);    ll x,ans=1LL;    while (m--){        scanf("%lld",&x);        ans=(ans*C(n,x))%mod;        n-=x;        if (n<0) return puts("Impossible"),0;    }    printf("%lld\n",ans);    return 0;}

那么组合数的各种问题就大致解决了，有2个小tricks值得记记：
1.n!中x因子的个数=⌊nx⌋+⌊nx2⌋+⌊nx3⌋……
2.卡特兰数：（n个数的出栈顺序数列统计）C(2n,n)n+1或者C(2n,n)−C(2n,n−1)

接下来是欧几里得：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，
也就是“辗转相除法”
当a,b很大比如高精度，可以用“更相减损术”，
即如果都能/2就/2，不然辗转相除。

扩展欧几里得exgcd(a,b,x,y)当a和b互质的时候，exgcd(a,b,x,y)，更改了x和y的值能够求出a关于b的数论逆元（x）也就是ax=1(%b)扩欧还可以用来解不定方程ax+by=c方法：首先求出w=gcd(a,b)，如果c%w≠0，则此方程无解，不然a，b，c均除以w然后a和b就互质了，求出ax=1(%b)的最小x，再将x∗c就得到了x的一个基础解。整个解集是一个周期，x以b为周期，y以a为周期。

扩欧用处多多啊!得会得会。。

//用了long longll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){    if (!b){        x=1LL,y=0LL;        return a;    }    ll tt=exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;    x=y,y=tmp-a/b*y;    return tt;}

费马小定理：当p为素数的时候，ap−1=1   (mod p)欧拉定理：当gcd(a,p)=1，aϕ(p)=1  (mod p)扩展欧拉定理：也就是当gcd(a,p)≠1的时候也成立的定理当b>ϕ(p)，ab=ab%phi(p)+phi(p)   (mod p)注意p不停变成phi(p)是只用log(p)次的，这说明了x不停变成ax，（a必须固定）那么到了log(p)次左右就x=ax了。

扩展欧拉定理一个应用是bzoj4869
……应该不会考什么这种题了。。。

数论可能真没什么题了……快速幂啥的虚无。。