(扩展)欧几里得

2017-12-13

首先是欧几里得定理，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

证明一下吧c=gcd(a,b) d=gcd(b,a%b)假设a=b*k+t;k是商，t是余数那么d=gcd(b,a%b)=gcd(b,t)因为d|b,d|t，并且a=b*k+t所以d|a，即d是a，b的公因数，即d小于等于c又因为c|a,c|b，并且t=a-b*k所以c|t，即c是b，t的公因数，即c小于等于d所以说c==d的

或许我们大家都知道gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)，所以我们在求最大公约数的时候a和b通常都是取正数的。对于gcd(a,b)=gcd(b,a-b)(a>b)，这里可以用上述方法进行证明的。

我之前在《编程之美》上求解a与b的最大公约数中看到了三种解法，在这里简单的介绍一下吧。（1）直接利用__gcd(a,b)，这是c++里面的库函数，包含在头文件<algorithm>中，我查看了一下他的源码，是用迭代的方法求解的。类似于这个吧！int gcd1(int x,int y){    while(y){        int r=x%y;        x=y;        y=r;    }    return x;}当然，我们也可以用递归的方法int dg1(int x,int y){    return y==0?x:dg1(y,x%y);}（2）学过计算机组成原理的人都知道，求余操作耗时是比较长的，那么我们可以用上面提到的减法操作，并且这种方法对于大整数也是可以求得的，代码我就不赘述了。（3）不知道大家还记得这样一个定理吗？即gcd(a1*k,b1*k)=k*gcd(a1,b1)；还有一个，如果说我们的b%k！=0，那么gcd(a*k,b)=gcd(a,b)。这里的证明我也不是很清楚。接下来我要介绍的方法就是和这个是有关系的，我们大家都知道，在计算机里位操作是非常快的，左移<<相当于*2，右移>>相当于/2，是吧！那么我们可以利用移位操作来加快我们的执行速度。直接看代码吧！int gcd(int x,int y){    if (x<y) return gcd(y,x);    if (y==0) return x;    if (iseven(x)&&iseven(y)){        return gcd(x>>1,y>>1)<<1;    }if (iseven(x)){        return gcd(x>>1,y);    }if (iseven(y)){        return gcd(x,y>>1);    }else{        return gcd(y,x-y);    }}对于最后一种情况x与y都是奇数的话，它们俩进行减操作，最后的结果一定是一个偶数吧！还有，我们在判断奇偶性的时候，只要看二进制表示的最后一位是0还是1即可，所以就有了下面的代码：bool iseven(int n){    return !(n&1);}这就是我介绍的三种方法。

接下来就是扩展欧几里得了 ，说实话，我对这个模板并没有很好的理解，我仅仅能够按照他的代码自己模拟，但是至于代码怎么得来的以及它的证明过程我并不是很清楚。我参考的是我的一个同学的博客。
http://blog.csdn.net/yoer77/article/details/69568676

在数论中，裴蜀等式（英语：Bézout’s identity）或贝祖定理（Bézout’s lemma）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）： ax + by = m 有整数解时当且仅当m是d的倍数。（这句话很关键，注意这里的'''当且仅当'''）裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用扩展欧几里得算法(Extended Euclidean algorithm)求得。例如，12和42的最大公因数是6，则方程12x+42y=6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。特别来说，方程 ax+by=1 有整数解当且仅当整数a和b互素。 裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义： d其实就是最小的可以写成ax+by形式的正整数。(这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。)

扩展欧几里得就是在求出gcd(a,b)的同时求出a*x+b*y=gcd(a,b)的一个解。

用类似辗转相除法，求二元一次不定方程63x+22y=1的整数解。首先63=22*2+1922=19*1+319=3*6+1这里的1就是我们的最大公约数了然后我们左右换个表示方式19=63+22*(-2)3=22+19*(-1)1=19+3*(-6)最后我们一步步的回带进去1=19+3*(-6)1=19+[22+19*(-1)]*(-6)1=19*7+22*(-6)1=[63+22*(-2)]*7+22*(-6)1=63*7+22*(-20)这样我们就求解出来了x=7,y=-20这就是我们所要求得的答案啊！

设：a>b。显然当 b=0，gcd(a,b)=a。此时 x=1，y=0;ab!=0 时对于一般的情况而言a*x1+b*y1=gcd(a,b)同时我们也可以得出b*x2+(a%b)*y1=gcd(b,a%b)由于gcd(a,b)=gcd(b,a%b)那么我们可以进一步得到a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2，a%b=(a-a/b*b)我们要知道，这里的a/b*b并不一定会等于a，因为我们并不一定会整除啊！进一步得到a*x1+b*y1=a*y2+b*(x2-a/b)这个等式要保证恒成立，那么x1=y2，y1=x2-a/b所以我们就得到了递推公式但是我本人并不知道这个所以是如何的来的

递归的代码int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    int r = exgcd(b, a%b, x, y)    int t = y;    y = x - (a/b) * y;    x = t;    return r;}如有不理解，可以手动模拟一下，发现的确是这样，但是还是觉得自己对这个的理解不是很清晰。

扩展欧几里得的非递归，据说是参考的这两个链接http://anh.cs.luc.edu/331/notes/xgcd.pdf http://math.cmu.edu/~bkell/21110-2010s/extended-euclidean.html 

非递归的代码int exgcd(int m, int n, int &x, int &y) {    if (n == 0) {        x = 1; y = 0;        return m;    }    int a, a1, b, b1, c, d, q, r, t;    a1 = b = 1;    a = b1 = 0;    c = m; d = n;    q = c/d; r = c%d;    while (r) {        c = d;        d = r;        t = a1;        a1 = a;        a = t - q * a;        t = b1;        b1 = b;        b = t - q * b;        q = c/d;        r = c%d;    }    x = a; y = b;    return d;}

我自己觉得这个的确很有道理，但是思维怎么就转变不过来，还是看一个题目吧！

题目链接http://hihocoder.com/problemset/problem/1297

首先我们这道题目用的是扩展欧几里得的方法求解的题目输入s1,s2,v1,v2以及m，其中m是石板的总数目，编号是0到m-1，s1是第一个人的起始位置，v1是第一个人的步长，s2是第二个人的起始位置，v2是第二个人的步长，我们假设第二个人比第一个人多走了t圈然后和他相遇，假设第一个人走了k步，那么我们可以列出等式s1+v1*k=s2+v2*k-m*t，其中我们只有k与t是变量(v1-v2)*k+m*t=s2-s1这样我们是不是就把这个转换为A*x+B*y=C了，我们令A=v1-v2B=mC=s2-s1首先我们要明白一点，我们要保证A>0，那么如果A<0的话，那么我们令A+m，在这里其实就是等同于v1-v2的值加上了m，其实这就等同于每次多跳了一圈，对最后的结果是不影响的。首先我们由上述定理可以得出，如果我们这里的C%gcd(a,b)不为0的话，那么这个放方程是没有解的。直接输出-1。否则的话，我们对A*x+B*y=C等式两边都除以gcd(a,b)，那么我们就得到了A'*x+B'*y=C'，其中A'=A/gcd(a,b)，B'=B/gcd(a,b)，C'=C/gcd(a,b)其中A'与B'是互质的我们根据扩展欧几里得可以算出A'*x+B'*y=1的所有解，我们的目标是A'*x+B'*y=C'，那么我们可以把得出的结果*C'，但是我们尽管通过欧几里得求得x的值，我们也不能保证x的值是我们想要的最小的正整数，所以我们构建了x的解集A'*x+B'*y=1A'*x+B'*y+[u+(-u)]*A'*B'=1转化一下A'*(x+u*B')+B'*(y-u*A')=1那么x=x+u*B'y=y-u*A'那么我们把x与y进行相同的操作同样也是这个方程的解，这就是代码中为什么会对求得的结果进行+B'的原因

给出代码#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long ll;ll exgcd(ll m, ll n, ll &x, ll &y) {    if (n == 0) {        x = 1; y = 0;        return m;    }    int a, a1, b, b1, c, d, q, r, t;    a1 = b = 1;    a = b1 = 0;    c = m; d = n;    q = c/d; r = c%d;    while (r) {        c = d;        d = r;        t = a1;        a1 = a;        a = t - q * a;        t = b1;        b1 = b;        b = t - q * b;        q = c/d;        r = c%d;    }    x = a; y = b;    return d;}int main() {    ll s1, s2, v1, v2, m;    ll A, B, C;    ll k, t;    while(cin >> s1 >> s2 >> v1 >> v2 >> m){        A = v1-v2;        B = m;        C = s2-s1;        if (A < 0) A += B;        ll d = __gcd(A, B);        if (C % d) cout << -1 << endl;        else {            A = A/d;            B = B/d;            C = C/d;            exgcd(A, B, k, t);            k = (k * C) % B;            while (k < 0) {                k += B;            }            cout << k << endl;        }    }    return 0;}