leetcode459奇妙做法的数学解释

前言

前几天做了下leetcode459，这道看起来平淡无奇的题目，却是如此的好玩。我们经常看网上一些人写的题解，粗暴，直接上代码，然后唯一的中文是“水题，不解释”，科科哒，港真，有多少人知道其数学原理，反正我是不建议轻视每一个我们碰到的问题。

首先，回顾一下问题：

简单的说，就是判断一个字符串是否能完全被自身一个子串多次拼接得到。比如“ababab”可以由“ab”拼接而成（我们称之为“好串”），“ababc”则不存在一个子串能拼接出原字符串。

碰到问题，暴力先行，我们可以简单地给出一种暴力的方法：

class Solution:    def repeatedSubstringPattern(self, s):        """        :type s: str        :rtype: bool        """        for x in range(int(len(s)/2)):            temp=s[0:(x+1)]            times=int(len(s)/(x+1))            if temp*times==s:                return True        return False      

实际上就是遍历s，看前x个字符构成的子串能不能拼接出s，这样的暴力是O(n2)，当然如果在做代码中if语句之前，判断一下times是否能被len(s)整除的话，可以降到O(rn)，其中r为n的约数的个数，不过这样的改进似乎没有起到很大的作用，因为在我之前的博客《leetcode483. Smallest Good Base 的一些思考 》中讨论了一个不大于n的正整数的约数个数期望意义下是多少的问题，结论是大约为O(logn)，于是这样微小的改进大约是O(nlogn)，还过得去，聊胜于无~

然后，标答的话，应该是采用O(n)的KMP算法，在本文中不做详细介绍，或者了留个微小的坑（立个flag），最近（其实是懒）有点忙。然后，在浏览discuss时候，发现了有个非常非常神奇的做法，给出代码如下：

class Solution:    def repeatedSubstringPattern(self, s):        return s in (2 * s)[1:-1]

是的，就是一行，这里剧透一下，这是O(n)的算法，简单地说，这个算法分为如下几步：

（算法1）
1. 用两个s首尾相连得到一个新的字符串ss;
2. 去掉ss的首尾两个字符；
3. 如果在剩下来的字符串中能找到s那么返回True，否则False

实在是惊人，经过一段时间的思考，终于给出了这个方法的证明，在这个过程中想到了很多东西，非常兴奋，兴奋得我跑去清青快餐吃了一波，然后下面的话，我将会给出我的完整的思考过程（和以前一样，我认为记录思考过程比记录冷冰冰的证明要有意义得多，或者你可以直接拖到后面看证明）

思考过程

如图所示，s1和s2分别为步骤1中所给出的两个字符串

记序列s1s2的字符分别为a0，a1，…，a2n−1，若在s1s2去掉首尾后中能找到s1(s2)的话，也就是说存在k使得(a0a1...an−1)=(akak+1...ak+n−1)=(anan+1...a2n−1)，其中1≤k≤n−2，于是我们马上有：（0≤t≤n−1）

⎧⎩⎨⎪⎪at=at+nat=at+kat=at+n−k,

为了方便起见，上式中的下标是mod n意义下的，换句话说{an}有三个周期，分别是n,k,n−k，但是实际上由于是mod n意义下，于是周期n−k和k是相同的，此时，我猜想：

（猜想1）若有at=at+n以及at=at+k，k≤n，那么一定存在一个r|n，使得at=at+r.

如果猜想1成立，那么我们就可以判定，算法1可以用来判断“好串”（(a0a1...ar−1)能生成整个原字符串），不妨加强一下猜想1，做一个更加具体的猜想：

（猜想2）若有at=at+n以及at=at+k，k≤n，那么at=at+gcd(k,n).

此时，我做了一些实验，下面展示一些例子(不断+4然后取模6)，
1.k=4,n=6，如图所示

上图中颜色相近的表示的是值相同（颜色深浅是为了方便读者阅读），实际上就是下图中的好串，它确实有周期gcd(4,6)=2，而且字符串被分为gcd(n,k)种等价类（绿色和黄色）。

有了上述实验后，我再做了一个尝试（直觉告诉我不妨做个互质情况的实验）

2.k=4,n=5

很高兴，和我的猜想一致，它确实有gcd(4,5)=1的周期，以及字符串被分为gcd(n,k)种等价类（蓝色）。我想，如果把上两幅图的操作看成是一种变换（上面两幅图右边的箭头），那么序列只有在gcd(k,n)=1的时候，变换才能遍历整个字符串中的每一个元，否则早早就进入循环了。

重新再以k=4,n=6为例，实际上，这个变换就是不断+4然后取模6的过程，那么我想，能不能证明对于任意的等差数列ak+t，对于任意n>1，取mod n后都会变成周期数列，

此时我突然想到一些东西，我印象中好像有这么一个定理：

（定理1）对于常系数齐次线性递推公式an+k=∑ki=1ckan+i−1，若m>1，那么数列{an}模m后是周期数列.

我能不能将等差数列转换为常系数齐次线性递推公式，然后通过定理1的某些性质来直接证明猜想2呢？先来看看，ak+t的话，似乎可以有

(a+1)k+t=2(ak+t)−[(a−1)k+t],

也就是说，我们有Aa+1=2Aa−Aa−1，棒！还真的可以转换为常系数齐次线性递推公式，等等，Aa+1=2Aa−Aa−1的特征方程是x2−2x+1=(x−1)2，我去，对了，二次的特征方程，且有两个重根的通项公式就是一次函数！也就是等差数列！棒极了！周期性用抽屉原理就可以证明，好像直接从等差数列角度也能直接证明，化为递推公式好像没卵用（囧），而且好像没有查到关于定理1的一些有关的好性质，没劲，好像又回到了原点，看看自己能不能解决猜想2.

完整证明

回顾一下，由已知存在k（1≤k≤n−2），我们有：（0≤t≤n−1）

{at=at+nat=at+k,

我们只要证明猜想2，我们就能说明算法1给出True的判断就是好串，False的结果必然是非好串。这主要是因为gcd(n,k)|n，(a0a1...agcd(n,k)−1)能生成整个原字符串.

（猜想2）若有at=at+n以及at=at+k，k≤n，那么at=at+gcd(k,n).

下面我们来证明猜想2，首先我们有如下引理：

（引理1）用lcm(m,k)和gcd(m,k)来表示m,k的最小公倍数和最大公约数，那么我们有lcm(m,k)⋅gcd(m,k)=mk.

接下来给出关于一次线性同余方程解得存在性定理：

（引理2：线性同余式定理）设a,b,m∈N+，给定一次同余方程ax≡b(modm)，
（1）若gcd(a,m)|b，那么同余方程有gcd(a,m)个在模m的不同解，如果有特解x0，那么全部解得形式为x=x0+t⋅m/gcd(a,m)，t=0,1,...,gcd(a,m)−1；
（2）若不整除，那么同余方程不存在解.

我们考虑序列下标序列t,t+k,t+2k,t+3k...即ak+t，

（第一步）我们先证明：

a⋅k+t≡(a+ngcd(k,n))k+t(modn),

这等价于kn/gcd(k,n)≡0(modn)，由引理1有kn/gcd(k,n)=lcm(k,n)，于是，最小公倍数lcm(k,n)当然可以整除n，于是马上知道，上式成立。

（第二步）接下来，固定t，我们证明对于ak+t，a从0取到ngcd(k,n)−1这ngcd(k,n)个数，在模n的意义下互不相同，反设，存在p,q，0≤p<q≤ngcd(k,n)，使得pk+t≡qk+t(modn)，那么我们有k(p−q)≡0(modn)，注意到此时有:

k⋅(p−q)<k⋅ngcd(k,n)=lcm(k,n),

若有k(p−q)≡0(modn)，这与最小公倍数lcm(k,n)的最小性矛盾！

回到原猜想2（再次重申，所有的下标就是模n意义下的），由第一步和第二步，我们知道，对于原字符串a1,a2,...,an−1中，取定一个t，必有：

at=at+k=at+2k=...=at+ngcd(k,n)−1,

上式中的元构成的集合我们称为等价类At⊂s，下面我们证明等价类At⊂s中的元，下标必是gcd(k,n)为周期，用数学的语言描述即任取一个元at+kx∈At，必有at+kx+gcd(k,n)∈At，0≤x≤ngcd(k,n)−1.直接证明，似乎没那么容易，换一个角度，我是否能构造一个集合A′t使得：

• A′t中的元有at+p⋅gcd(k,n)的形式（0≤p≤ngcd(k,n)−1）；
• 存在双射f: A′t→At.

这样的话A′t与At的元完全相同，而A′t的元的下标是以gcd(k,n)为周期的，那么At也必是如此！

取定p∈[0,ngcd(k,n)−1]，考察同余方程

x⋅k+t≡p⋅gcd(k,n)+t(modn),

在[0,ngcd(k,n)−1]上的正整数解。由引理2（线性同余式定理），因为gcd(k,n)|p⋅gcd(k,n)，故同余方程有x=x0+t⋅n/gcd(a,n)，t=0,1,...,gcd(a,n)−1，由抽屉原理，不管x0是什么，在模n的意义下，上述同余方程在[0,ngcd(k,n)−1]有唯一解！（因为解步长是ngcd(k,n)），

同理，取定a∈[0,ngcd(k,n)−1]，考察同余方程

a⋅k+t≡x⋅gcd(k,n)+t(modn),

在[0,ngcd(k,n)−1]上有唯一解！

所以上面两个同余方程的解唯一性保证了A′t和At的元是一一对应的，于是At的元在模n的意义下必是以gcd(k,n)为周期的。即对于任意的t，都有at=at+gcd(k,n)，故完成证明！

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后记

由上面的思考，顺便得到如下结论：

（结论1）对等差数列ak+t，a∈N+，取mod n后所得到的周期数列，必有周期n/gcd(k,n)，且n/gcd(k,n)为最小正周期.

修改一下结论1有：

（结论2）常系数齐次线性递推公式Aa+1=2Aa−Aa−1取mod n后所得到的周期数列的周期完全取决于初值.

进一步的思考：

（作业）若有at=at+ki，其中i=1,2...n，那么是否有at=at+gcd(k1,k2,...,kn)?.

如果，上面的这个作业成立的话，那么由之前我的这篇博文:从Happy num所想到的几个问题 最后提到任取k个自然数，它们互素的概率为1ζ(k)，即有非常大的概率，使得数列{at}每一项都是相同的.