bzoj 2813: 奇妙的Fibonacci 数学+线性筛

题意

Fibonacci数列是这样一个数列：
F1 = 1， F2 = 1， F3 = 2 …
Fi = Fi-1 + Fi-2 (当 i >= 3)
pty忽然对这个古老的数列产生了浓厚的兴趣，他想知道：对于某一个Fibonacci数Fi，
有多少个Fj能够整除Fi (i可以等于j)，他还想知道所有j的平方之和是多少。答案模1e9+7。
第一行一个整数Q,表示Q个询问。
第二行四个整数:Q1, A, B, C
第i个询问Qi = (Qi-1 * A + B) mod C + 1(当i >= 2)
Q <= 3*10^6，C <= 10^7，A <= 10^7，B <= 10^7，1 <= Q1<= C

分析

这题利用到了斐波那契数列一些比较神奇的性质。

定理一：gcd(f[n],f[n−1])=1
证明：
gcd(f[n],f[n−1])
=gcd(f[n−1]+f[n−2],f[n−1])
=gcd(f[n−1],f[n−2])
…
=gcd(f[2],f[1])=1

定理二：f[n+m]=f[n]∗f[m−1]+f[n+1]∗f[m]
证明：
f[n+m]
=f[n+m−1]+f[n+m−2]
=2∗f[n+m−2]+f[n+m−3]
设f[n+m]=a[x]∗f[n+m−x]+b[x]∗f[n+m−x−1]
当x=1时有a[x]=f[2],b[x]=f[1]
当x=2时有a[x]=f[3],b[x]=f[2]
…
当x=n时有a[x]=f[n+1],b[x]=f[n]
所以f[n+m]=f[n+1]∗f[m]+f[n]∗f[m−1]

定理三：gcd(f[n+m],f[n])=gcd(f[m],f[n])
证明：
gcd(f[n+m],f[n])
=gcd(f[n+1]∗f[m]+f[n]∗f[m−1],f[n])
=gcd(f[n+1]∗f[m],f[n])
=gcd(f[m],f[n])

然后通过归纳不难发现gcd(f[n+m],f[n])=f[gcd(n,m)]
要想f[n]|f[m]，那么必然要满足gcd(n,m)=n，也就是说，条件f[n]|f[m]等价于n|m。
然后线性筛爱怎么筛怎么筛。
因为f[1]==f[2]，所以当i为奇数时会少算上f[2]。只要把约数个数+1，约数平方和+4即可。

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int MOD=1000000007;const int N=10000005;int pow[N],num[N],prime[N],a[N],low[N],tot;LL sum[N];bool not_prime[N];void get_prime(int n){    for (int i=2;i<=n;i++)    {        if (!not_prime[i]) prime[++tot]=i,low[i]=i,a[i]=1,pow[i]=i;        for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)        {            not_prime[i*prime[j]]=1;            low[i*prime[j]]=prime[j];            if (i%prime[j]==0)            {                a[i*prime[j]]=a[i]+1;                pow[i*prime[j]]=pow[i]*prime[j];                break;            }            a[i*prime[j]]=1;            pow[i*prime[j]]=prime[j];        }    }    sum[1]=num[1]=1;    for (int i=2;i<=n;i++) num[i]=num[i/pow[i]]*(a[i]+1),sum[i]=(LL)sum[i/low[i]]*low[i]*low[i]+sum[i/pow[i]];}int main(){    get_prime(10000000);    LL T,q,A,B,C;    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&T,&q,&A,&B,&C);    LL ans1=0,ans2=0;    while (T--)    {        (ans1+=num[q])%=MOD;(ans2+=sum[q])%=MOD;        if (q&1) ans1++,ans2+=4;        q=(q*A+B)%C+1;    }    printf("%lld\n%lld",ans1%MOD,ans2%MOD);}