日记★DP★B-01背包问题

B-01背包问题

题目

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题目描述

有 n 件物品, 每件物品有一个价值和一个重量，分别记为： b1,b2, …bn w1,w2, …wn 其中所有的 重量wi 均为整数。 现有一个背包，其最大载重量为W，要求从这n件物品中任取若干件（这些物品要么被装入要么被留下）。问背包中装入哪些物品可使得所装物品的价值和最大？

输入

第1行：2个整数n(1<=n<=1000)和W(1<=W<=10000)，分别表示物品的件数和背包的最大载重量。

第2-n+1行：每行2个用空格分开的整数，第i+1行的整数表示第i件物品的重量wi和价值bi(1<=bi,wi<=10000)。

输出

第1行：1个整数，表示背包所能装下的物品的最大总价值。

第2-？行：每行3个用空格分开的整数，i, wi, bi，分别表示最优解中的物品的编号、重量和价值。

样例输入

4 5
2 3
3 4
4 5
5 6

样例输出

7
1 2 3
2 3 4

状态定义

f[i][j]：前i个物品，选出重量和恰好为j的物品，的最大价值。

状态转移

分2种情况，选i物品和不选i物品：

• 选i：f[i][j]=f[i−1][j−w[i]]+b[i]；
• 不选i：f[i][j]=f[i−1][j]。

但我们不可能两种情况都要，所以取大的一个：
f[i][j]=max(f[i−1][j−w[i]]+b[i],f[i−1][j])。

边界

无。

输出解

用Ans[i][j]表示f[i][j]是由哪个状态转移得来，即：

• f[i][j]==f[i−1][j−w[i]]=>Ans[i][j]=1
• f[i][j]==f[i−1][j]=>Ans[i][j]=0

然后递归输出即可。

代码

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;int read(){    int x=0,f=1;char s=getchar();    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}    return x*f;}#define MAXN 1000#define MAXW 10000int w[MAXN+5],b[MAXN+5];int f[MAXN+5][MAXW+1];bool Ans[MAXN+5][MAXW+5];int N,W;void print(int i,int j){    if(i<1||j<0) return;    if(Ans[i][j])//当Ans[i][j]==1时，f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+b[i]，表示要选i    {        print(i-1,j-w[i]);        printf("%d %d %d\n",i,w[i],b[i]);    }    else print(i-1,j);//否则是不选i的，就不用输出}int main(){    N=read(),W=read();    for(int i=1;i<=N;i++)        w[i]=read(),b[i]=read();    for(int i=1;i<=N;i++)        for(int j=0;j<=W;j++)        {            if(j>=w[i]&&f[i-1][j]<f[i-1][j-w[i]]+b[i])            {                f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+b[i];                Ans[i][j]=1;//其实不用Ans也可以，在递归的时候比较f[i][j]和f[i-1][j-w[i]]+b[i]即可            }            else f[i][j]=f[i-1][j];        }    printf("%d\n",f[N][W]);    print(N,W);}

优化-滚动数组

和A题一样，f[j]在更新前实际上就是f[i−1][j]的值，所以可以用一维完成。
但是这样就不能不用Ans数组了。
详细内容请看：为什么01背包要逆序循环。

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;int read(){    int x=0,f=1;char s=getchar();    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}    return x*f;}#define MAXN 1000#define MAXW 10000int w[MAXN+5],b[MAXN+5];int f[MAXW+1];bool Ans[MAXN+5][MAXW+5];int N,W;void print(int i,int j){    if(i<1||j<0) return;    if(Ans[i][j])    {        print(i-1,j-w[i]);        printf("%d %d %d\n",i,w[i],b[i]);    }    else print(i-1,j);}int main(){    N=read(),W=read();    for(int i=1;i<=N;i++)        w[i]=read(),b[i]=read();    for(int i=1;i<=N;i++)        for(int j=W;j>=0;j--)//倒着来            if(j>=w[i]&&f[j]<f[j-w[i]]+b[i])            {                f[j]=f[j-w[i]]+b[i];                Ans[i][j]=1;            }    printf("%d\n",f[W]);    print(N,W);}