[BZOJ3717]-[PA2014]Pakowanie-状压DP

说在前面

比较好奇这个「PA」到底是什么比赛…

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题目

BZOJ3717传送门

题面

你N个物品和M个包。物品有重量，且不可被分割；包也有各自的容量。要把所有物品装入包中，至少需要几个包？

输入输出格式

输入格式：
第一行两个整数N,M(1≤N≤24,1≤M≤100)，表示物品和包的数量。
第二行有n个整数a[1],a[2],…,a[n](1≤a[i]≤108)，分别表示物品的重量。
第三行有m个整数c[1],c[2],…,c[m](1≤c[i]≤108) ，分别表示包的容量。

输出格式：
如果能够装下，输出一个整数表示最少使用包的数目。若不能全部装下，则输出NIE。

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解法

第一眼先看数据规模，发现数据范围再大一点就是立方/四次方算法，再小一点就是状压。回头看一看时限，90秒，嗯稳稳的状压。
而且可以发现的是，肯定是先用容量大的包，再用容量较小的包。因此，最多也只会用到N个包（一个物品一个包），不然就无解了。
（然后me就没有思路了）

看了题解，定义两个数组dp[state]和left[state]，表示已经装包的物品状态为state时，已经用了dp[state]个包，且最后一个包剩余容量为left[state]
使用填表法，每个state都可以从state^(1<< i )转移过来，转移的时候判断：

• 原来剩余的容量是否够装第i个物品
  
  • 够装，如果满足以下两个条件之一，则更新当前答案
    
    • 原来所用包的个数小于当前最优解
    • 原来所用包的个数等于当前最优解，且原来的在装第i个物品之后剩余容量大于当前最优解
  • 不够装，如果满足以下两个条件之一，则更新当前答案
    
    • 原来所用包个数+1小于当前最优解
    • 原来所用包个数+1等于当前最优解，且开一个新的包装第i个物品的剩余容量大于当前最优解

注意这一坨转移条件，必须要按照物品来判断，而不能是仅仅「记录下可以转移到当前状态的那些 包的最小值（相同的时候保留容量最大值）」这样，因为这样记录的是相对最优，但是真正的最优解是要在装物品之后再考虑。

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下面是自带大常数的代码

/**************************************************************    Problem: 3717    User: Izumihanako    Language: C++    Result: Accepted    Time:29872 ms    Memory:197428 kb****************************************************************/#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std ;int N , M , a[16777218] , c[105] ;int dp[16777218] , left[16777218] ;bool cmp( const int &A , const int &B ){    return A > B ;}void solve(){    int Fstate = ( 1 << N ) - 1 ;    register int i ;    for( i = 1 ; i <= Fstate ; i ++ ){        int tmp = i ;        int id , maxl = 0 , minc = 0x3f3f3f3f ;        dp[i] = 0x3f3f3f3f  ;        while( tmp ){            int lb = ( tmp&-tmp ) , x = i - lb ;            if( a[lb] <= left[x] && ( dp[x] < dp[i] || ( dp[x] == dp[i] && left[x] - a[lb] > left[i] ) ) )                dp[i] = dp[x] , left[i] = left[x] - a[lb] ;            else if( ( dp[x] + 1 < dp[i] || ( dp[x] + 1 == dp[i] && c[ dp[x]+1 ] > left[i] + a[lb] ) ) && c[ dp[x]+1 ] >= a[lb] )                dp[i] = dp[x] + 1 , left[i] = c[ dp[x]+1 ] - a[lb] ;            tmp -= lb ;        }    }    if( dp[Fstate] == 0x3f3f3f3f ) puts( "NIE" ) ;    else printf( "%d" , dp[Fstate] ) ;}int main(){    scanf( "%d" , &N ) ;    scanf( "%d" , &M ) ;    for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )        scanf( "%d" , &a[i] ) ;    for( int i = N ; i ; i -- )        a[1<<(i-1)] = a[i] ;    for( int i = 1 ; i <= M ; i ++ )        scanf( "%d" , &c[i] ) ;    sort( c + 1 , c + M + 1 , cmp ) ;    solve() ;}