工程计算7——函数逼近与曲线拟合

连续函数空间C[a,b]

• 定义
  
  • 在区间[a,b]上连续函数的全体构成的集合
  • 空间是无限维的
  • 满足线性运算的封闭性
• 范数
  
  • ||f(x)||∞=maxx∈[a,b]|f(x)|
  • ||f(x)||1=∫ba|f(x)|dx
  • ||f(x)||2=[∫baf2(x)dx]12
• 内积
  
  • 离散：
    
    • (f,g)=∑mi=0wif(xi)g(xi)
    • ||f||2=(f,f)−−−−−√=∑mi=0wi[f(xi)]2−−−−−−−−−−−−−√
  • 连续
    
    • (f,g)=∫baρ(xi)f(xi)g(xi)dx
    • ||f||2=(f,f)−−−−−√=∫baρ(xi)[f(xi)]2dx−−−−−−−−−−−−−−√

函数逼近

基本概念

• 定义
  
  • 在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，使得用g近似表示 ƒ而产生的误差最小。
• 分类
  
  • ∞范数：最佳一致逼近
  • 1范数、2范数
    
    • 曲线之间的面积最小
    • 2范数：最佳平方逼近和最小二乘逼近

连续函数的最佳平方逼近

• 定义
  
  • 
• 求解S∗(x)
  
  • 
  • 
  • 存在唯一性
• 最佳平方逼近多项式
  
  • 可能出现病态方程
  • 适用于低次函数逼近
• 用正交基求最佳平方逼近
  
  • 由于正交基的性质，G矩阵只有对角元不为0
  • a∗k=(ϕk,f)/(ϕk,ϕk)
  • 
  • 例：用勒让德多项式来求函数f=1+x2−−−−−√ x∈[−1,1]的逼近函数g

double g(int k,double v){    if(k == 0) return 1;    else if(k == 1) return v;    else return (3 * v * v - 1) / 2.0;}double f(double x){    return sqrt(x * x + 1);}double gf(int k){    double s = 0;    int nn = 10000;    double begin_ = -1;    for(int i = 0;i < nn; i++)    {        s += g(k,begin_) * f(begin_) * (2.0 / (nn * 1.0));        begin_ += (2.0 / (nn * 1.0));    }    return s;}double gg(int k){    double s = 0;    int nn = 1000;    double begin_ = -1;    for(int i = 0;i < nn; i++)    {        s += g(k,begin_) * g(k,begin_)  * (2.0 / (nn * 1.0));        begin_ += (2.0 / (nn * 1.0));    }    return s;}void Compute_AB(){    for(int i = 0; i < n; i++)    {        A[i] = gg(i);    }    for(int i = 0; i < n; i++)    {        B[i] = gf(i);    }}

曲线拟合的最小二乘法（离散）

• 定义
  
  • 已知函数值表(xi,yi)，在函数空间ϕ求解S∗(x)，使得∑mi=0wi[S∗(xi)−yi]2=mins(x)∈ϕ∑mi=0wi[S(xi)−yi]2
• 求解
  
  • 与连续函数得到一样的法方程
  • 只是(ϕk,f)的计算方式不同。参考内积的离散和连续形式。
• 三项递推公式
  
  • 
• 用三项递推公式来拟合一下5个点

x 0 0.25 0.5 0.75 1 y 0.1 0.35 0.81 1.09 1.96

double f(double k,double v){    if(k == 0) return 1;    else if(k == 1) return v - 0.5;    else return (v - 0.5) * (v - 0.5) - 0.125;}void Compute_B(){    double s;    for(int i = 0; i < n; i++)    {        s = 0;        for(int j = 0; j < m; j++)        {            s += f(i , x[j]) *  y[j];        }        B[i] = s;    }}void Compute_A(){    double s;    for(int i = 0; i < n; i++)    {        s = 0;        for(int j = 0;j < m;j++)        {            s += f(i,x[j]) * f(i,x[j]);        }        A[i] = s;    }}