java 数字三角形

1． 实践题目

7-1 数字三角形

2. 问题描述

给定一个由 n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形 的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

3. 算法描述（不能粘贴程序）

 

用一个二维数组来储存数据，从底向上的进行叠加，从b[i][j]出发，下一步只能是 b[i-1][j]或者b[i-1][j+1]，每算一个maxSum(r,j)就保存起来，下次用到时就直接取用，避免了重复计算的问题。成为记忆递归型的动态规划。

递归公式：

原问题的最优值是 b[1][1]

终止条件是 b[1][1]

 

4. 算法时间及空间复杂度分析（要有分析过程）

时间复杂度为O(n2)，因为三角形的数字总和为n(n+1)/2，需要两次循环。

空间复杂度S(n*n),因为需要一个二维数组来存放数据

 

5. 程序运行截图

 

6．心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）

动态规划就是聪明的穷举法，以及聪明的分治法。都是把原问题分成若干子问题。

若子问题都不会重复，就使用分治法解决。若出现重叠子问题，就用动态规划。如果用分治法，将会浪费大量时间进行重复求解子问题，不停的采用递归方法，程序就会超时。

 

那么从时间上优化，就可以想到如果每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。使之成为记忆递归型的动态规划。

 

如果从空间上优化，一开始我采用的是二维数组存取数据的方法，最优条件为b[1][1],（此时空间复杂度为S（n*n））。

maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j];    

cout << maxSum[1][1] << endl;

后来觉得二维数组浪费存储空间，就用一个一维数组来储存。从底层一行行向上递推,即只要存储一行的MaxSum值就可以。（此时空间复杂度为S（n））。

maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];    

cout << maxSum[1] << endl;

通过以上两个优化调试，充分体现了原问题的最优解包含了子问题的最优解。

源代码地址：https://github.com/TFknight/PythonStudy/blob/master/algorithm/numbersj.java