3种方法求解斐波那契数列

转载自: https://www.cnblogs.com/python27/archive/2011/11/25/2261980.html

作者: python27

题目：定义Fibonacci数列如下：

分析1：看到斐波那契数列几乎所有的程序员在第一时间的反应都是“递归”，没错了，作为和汉诺塔一样的经典递归问题，我们几乎毫不犹豫就可以写出如下的代码：

#include<iostream>#include<string>using namespace std;long Fibonacci(unsigned int n){    if(n == 0)        return 0;    else if(n == 1)        return 1;    else        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);}int main(){    cout<<"Enter An N:"<<endl;    unsigned int number=0;    cin>>number;    cout<<Fibonacci(number)<<endl;    return 0;}

然而我们不禁要问：虽然用这道题使得递归变得容易理解，那么这道题用递归是最好的吗？我们用计算f(10)来说明：

从图中可以看出：在计算F(10)要计算F(9)和F(8)，二要计算F(9)，又要计算F(8)，以此类推，要计算很多重复的值，这样就浪费了时间，而计算重复值的数量随着N值而急剧增大，事实上该算法的时间复杂度随着n值呈指数增长。不信，大家可以取N=100看看递归要慢到什么程度。

 

分析2：既然上面算法的主要缺点是要重复的计算很多不必要的数值，那么我们的想法是不计算那些重复的值，我们考虑对于任意一个N值，我们从第一项开始，不断的累积下去，这样就可以避免重复计算。由于是从第一项逐次求解，所以该算法的时间复杂度为O(n)。代码如下：

#include<iostream>#include<string>using namespace std;long Fibonacci(unsigned int n){    if(n == 0)        return 0;    if(n == 1)        return 1;    long firstItem = 0;    long secondItem = 1;    long fib = 0;    unsigned int cnt = 1;    while(cnt < n)    {        fib = firstItem + secondItem;        firstItem = secondItem;        secondItem = fib;        ++cnt;    }    return fib;}int main(){    cout<<"Enter A Number:"<<endl;    unsigned int number;    cin>>number;    cout<<Fibonacci(number)<<endl;    return 0;}

分析3：最后介绍一种效率最高的算法O(logn)，首先我们有下面的数学公式：

我们可以用数学归纳法证明如下：

Step1: n=2时

Step2：设n=k时，公式成立，则有：

等式两边同乘以[1,1;1,0]矩阵可得：

左=右，这正是n=k+1时的形式，即当n=k+1时等式成立。

由Step1和Step2可知，该数学公式成立。

由此可以知道该问题转化为计算右边矩阵的n-1幂问题。

我们利用分治的算法思想可以考虑如下求解一个数A的幂。

实现这种算法需要定义矩阵，以及矩阵的有关运算，具体代码如下：

#include<iostream>#include<string>using namespace std;//定义2×2矩阵；struct Matrix2by2{    //构造函数    Matrix2by2    (        long m_00,        long m_01,        long m_10,        long m_11    )    :m00(m_00),m01(m_01),m10(m_10),m11(m_11)    {    }    //数据成员    long m00;    long m01;    long m10;    long m11;};//定义2×2矩阵的乘法运算Matrix2by2 MatrixMultiply(const Matrix2by2& matrix1,const Matrix2by2& matrix2){    Matrix2by2 matrix12(1,1,1,0);    matrix12.m00 = matrix1.m00 * matrix2.m00 + matrix1.m01 * matrix2.m10;    matrix12.m01 = matrix1.m00 * matrix2.m01 + matrix1.m01 * matrix2.m11;    matrix12.m10 = matrix1.m10 * matrix2.m00 + matrix1.m11 * matrix2.m10;    matrix12.m11 = matrix1.m10 * matrix2.m01 + matrix1.m11 * matrix2.m11;    return matrix12;}//定义2×2矩阵的幂运算Matrix2by2 MatrixPower(unsigned int n){    Matrix2by2 matrix(1,1,1,0);    if(n == 1)    {        matrix = Matrix2by2(1,1,1,0);    }    else if(n % 2 == 0)    {        matrix = MatrixPower(n / 2);        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);    }    else if(n % 2 == 1)    {        matrix = MatrixPower((n-1) / 2);        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);        matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2by2(1,1,1,0));    }    return matrix;}//计算Fibnacci的第n项long Fibonacci(unsigned int n){    if(n == 0)        return 0;    if(n == 1)        return 1;    Matrix2by2 fibMatrix = MatrixPower(n-1);    return fibMatrix.m00;    }int main(){    cout<<"Enter A Number:"<<endl;    unsigned int number;    cin>>number;    cout<<Fibonacci(number)<<endl;    return 0;}

参考文献：

微软、Google等面试题：http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174200722991933440/

 

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