3种方法求解斐波那契数列

题目：定义Fibonacci数列如下：

分析1：看到斐波那契数列几乎所有的程序员在第一时间的反应都是“递归”，没错了，作为和汉诺塔一样的经典递归问题，我们几乎毫不犹豫就可以写出如下的代码：

#include<iostream> 2 #include<string> 3 using namespace std; 4  5 long Fibonacci(unsigned int n) 6 { 7     if(n == 0) 8         return 0; 9     else if(n == 1)10         return 1;11     else12         return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);13 }14 15 int main()16 {17     cout<<"Enter An N:"<<endl;18     unsigned int number=0;19     cin>>number;20     cout<<Fibonacci(number)<<endl;21     return 0;22 }

然而我们不禁要问：虽然用这道题使得递归变得容易理解，那么这道题用递归是最好的吗？我们用计算f(10)来说明：

从图中可以看出：在计算F(10)要计算F(9)和F(8)，二要计算F(9)，又要计算F(8)，以此类推，要计算很多重复的值，这样就浪费了时间，而计算重复值的数量随着N值而急剧增大，事实上该算法的时间复杂度随着n值呈指数增长。不信，大家可以取N=100看看递归要慢到什么程度。

分析2：既然上面算法的主要缺点是要重复的计算很多不必要的数值，那么我们的想法是不计算那些重复的值，我们考虑对于任意一个N值，我们从第一项开始，不断的累积下去，这样就可以避免重复计算。由于是从第一项逐次求解，所以该算法的时间复杂度为O(n)。代码如下：

#include<iostream> 2 #include<string> 3 using namespace std; 4  5 long Fibonacci(unsigned int n) 6 { 7     if(n == 0) 8         return 0; 9     if(n == 1)10         return 1;11     long firstItem = 0;12     long secondItem = 1;13     long fib = 0;14     unsigned int cnt = 1;15     while(cnt < n)16     {17         fib = firstItem + secondItem;18         firstItem = secondItem;19         secondItem = fib;20         ++cnt;21     }22     return fib;23 }24 25 int main()26 {27     cout<<"Enter A Number:"<<endl;28     unsigned int number;29     cin>>number;30     cout<<Fibonacci(number)<<endl;31     return 0;32 }

分析3：最后介绍一种效率最高的算法O(logn)，首先我们有下面的数学公式：

我们可以用数学归纳法证明如下：

Step1: n=2时

Step2：设n=k时，公式成立，则有：

等式两边同乘以[1,1;1,0]矩阵可得：

左=右，这正是n=k+1时的形式，即当n=k+1时等式成立。

由Step1和Step2可知，该数学公式成立。

由此可以知道该问题转化为计算右边矩阵的n-1幂问题。

我们利用分治的算法思想可以考虑如下求解一个数A的幂。

实现这种算法需要定义矩阵，以及矩阵的有关运算，具体代码如下：

#include<iostream> 2 #include<string> 3 using namespace std; 4  5 //定义2×2矩阵； 6 struct Matrix2by2 7 { 8     //构造函数 9     Matrix2by210     (11         long m_00,12         long m_01,13         long m_10,14         long m_1115     )16     :m00(m_00),m01(m_01),m10(m_10),m11(m_11)17     {18     }19 20     //数据成员21     long m00;22     long m01;23     long m10;24     long m11;25 };26 27 //定义2×2矩阵的乘法运算28 Matrix2by2 MatrixMultiply(const Matrix2by2& matrix1,const Matrix2by2& matrix2)29 {30     Matrix2by2 matrix12(1,1,1,0);31     matrix12.m00 = matrix1.m00 * matrix2.m00 + matrix1.m01 * matrix2.m10;32     matrix12.m01 = matrix1.m00 * matrix2.m01 + matrix1.m01 * matrix2.m11;33     matrix12.m10 = matrix1.m10 * matrix2.m00 + matrix1.m11 * matrix2.m10;34     matrix12.m11 = matrix1.m10 * matrix2.m01 + matrix1.m11 * matrix2.m11;35     return matrix12;36 37 }38 39 40 //定义2×2矩阵的幂运算41 Matrix2by2 MatrixPower(unsigned int n)42 {43     Matrix2by2 matrix(1,1,1,0);44     if(n == 1)45     {46         matrix = Matrix2by2(1,1,1,0);47     }48     else if(n % 2 == 0)49     {50         matrix = MatrixPower(n / 2);51         matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);52     }53     else if(n % 2 == 1)54     {55         matrix = MatrixPower((n-1) / 2);56         matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);57         matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2by2(1,1,1,0));58     }59     return matrix;60 }61 //计算Fibnacci的第n项62 long Fibonacci(unsigned int n)63 {64     if(n == 0)65         return 0;66     if(n == 1)67         return 1;68 69     Matrix2by2 fibMatrix = MatrixPower(n-1);70     return fibMatrix.m00;71     72 }73 74 int main()75 {76     cout<<"Enter A Number:"<<endl;77     unsigned int number;78     cin>>number;79     cout<<Fibonacci(number)<<endl;80     return 0;81 }

参考文献：

微软、Google等面试题：http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174200722991933440/

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