学习笔记-DTFT、DFS和DFT的联系

DTFT、DFS和DFT都是离散信号联系时域和频域的变换，而且都是数字变换，所以我们可以分别从数学和信号两个角度来描述其联系。在讲解变换之前我们要先弄清一些时域和频域的基本规律。在时域和频域上，周期和离散以及连续和非周期都是向对应的，比如，在时域上连续的信号，其频谱必定是非周期的，在时域上是周期的信号，其频谱必定是离散的。这些都可以根据连续信号的FS和信号抽样来解释。
一、数学角度
1. DTFT(离散时间傅里叶变换)是离散信号的Z变换在单位圆上的展开，其定义为

X(eiω)=DTFT[x(n)]=∑i=−∞∞x(n)e−jωn 

反变换为

x(n)=IDTFT[X(ejω)]=12π∫π−πX(ejω)ejωndω

2. DFS(离散傅里叶级数)是类比连续信号的傅里叶级数推导来的。连续信号傅里叶级数为Fn=1T1∫t0+T1t0f(t)e−jnω1tdt，其中ω1为基频角频率，T1为基频周期。对于离散周期信号，其周期为N，基频为ω0=2πN，则其定义可推导为

XN(K)=∑n=0N−1xN(n)e−j2πNKn

由上知，DFS是DTFT在单位圆上的N等分，其傅里叶级数不仅是离散的，而且还是周期性的(以N为周期[ej2πNKn=ej2πN(K+rN)n])，反变换为

xN(n)=1N∑k=0N−1XN(K)ej2πNKn

3. DFT(离散傅里叶变换)，上面的离散傅里叶级数是对周期性离散信号的变换，其离散傅里叶级数也是周期性的。周期信号是由有限长序列周期延拓而来，而有限长序列可以看成是周期序列的一个周期，因此离散傅里叶级数的表示也应该适用于有限长序列。从上面DFS的正反变换公式可以看出，它们只与周期信号中的基本周期即有限长序列有关，其n的取值范围都是0~(N-1)，这完全适合于主值序列x(n)和X(K)，则有限长序列的离散傅里叶变换DFT为

X(K)=∑n=0N−1x(n)e−j2πNKn,0≤K≤N−1

反变换为

x(n)=1N∑k=0N−1X(K)ej2πNKn,0≤n≤N−1

由上面的推导可知，DTFT是离散信号Z变换在单位圆上的展开，DFS是DTFT在单位圆上的N等分点，DFT是对DFS取主值序列。
二、信号角度
在工程实际中，由于观测或测量信号的时间有限，所以经常用到的是有限长序列，而且采集到的数据都基本用计算机进行处理，所以信号必须是有限长的离散信号。
一个信号f(t),假定其傅里叶变换为F(ejω)。首先我们要对信号进行数字化即采样处理，采样信号可近似为δN(t)=∑∞n=−∞δ(t−nts)，采样信号的傅里叶变换为δN(ejω)，采样周期为ts，采样频率为fs，则采样后的信号为fs(t)=f(t)⋅δN(t)，其频谱为Fs(ejω)=F(ejω)⋅δN(ejω)，则Fs(ejω)F(ejω)以fs为周期进行周期延拓。到这，其实得到的fs(t)就是我们的离散信号x(n)，Fs(ejω)就是我们的对x(n)进行DTFT得到的X(ejω)。
(下面从一个不一样的角度描述离散傅里叶级数DFS)
现在我们只是得到了离散的信号，计算机处理时间是有限，所以我们还要对得到的离散信号进行截取，在时域对信号进行截取就需要用到窗函数wN(t)(FT[wN(t)]=WN(ejω))，截取后的信号为fw(t)=fs(t)⋅wN(t)，其频谱为Fw(ejω)，Fw(ejω)是连续函数，我们想要用计算机处理，就必须把Fw(ejω)离散化即采样，频域采样对应于时域周期化，频域采样后的离散信号为fN，对应其频域为FN(ejω)。这里的fN(t)就是上面我们在说离散傅里叶级数DFS时的离散周期信号xN(n)，FN(ejω)就是xN(n)对应的离散傅里叶级数XN(K)。在进行频率采样时需要注意频域的“采样频率”或者时域的周期，频域采样对应时域周期化，在进行时域加窗后，fw(t)实则只有N个点，且点间间隔为ts，即fw(t)的序列长度为N⋅ts，所以为了便于计算处理需使时域的周期为T=N⋅ts，则频域的采样频率为f=1N⋅ts，由于Fw(ejω)为周期函数，其周期为ωs=2π⋅fs，频域采样后单位周期内的点数为Nw=ωs2π⋅f=N，即时域和频域是同周期的。既然都到这里了，我们在扩展一下当周期不是N 的情况。由上面的描述我们知道，后面的时域周期延拓实则就是频域的N点采样，当N太小时，频域在整个周期2πfs内采得的点数就很少，点数少则不能明确的表示其在整个周期内的变化，这就形成了栅栏效应，为了避免栅栏效应，增强频谱分辨率，我们可以增大N，即在离散信号后面补零，使其序列变长，周期延拓后的周期变大。
通过上面的变换，我们得到的是时域和频域都周期离散化的，所以我们要同时截取其主值序列，即得到对应有限长序列的离散傅里叶变换DFT。