数论——Baby Step Giant Step及扩展算法

bsgs算法

Baby Step Giant Step算法，简称BSGS算法，也称为大步小步算法.

解决对象

离散对数：当x≡Gk(modm)时，logG(x)≡k(modϕ(m))。此处的logG(x)是x以整数G为底，模ϕ(m)的离散对数。
BSGS算法就是用来求解Ax≡B(modC)。原始的BSGS算法只能解决C是质数的问题。

求解步骤

设m=C−−√向上取整，x=i×m+j，那么，Ax=(Am)i×Aj,0≤i<m,0≤j<m。然后可以枚举i，这是一个O(C−−√)级别的枚举。
对于枚举的每一个i，都令D=(Am)i，令E=Aj，那么就有D×E≡B(modC)。然后用扩展欧几里得求解。
不过还应该特判A是C的倍数的情况，比较容易。
对于多次调用Aj的情况，不用每次都用快速幂，只需要扔进hash表就可以了。

基本代码

这是我的code：

如果感觉不顺手，请看下面：
总有一款板子适合你！
来自这里

#include<iostream>    #include<cstdio>    #include<cstring>    #include<algorithm>    #include<map>    #include<cmath>     using namespace std;    long long a,b,c,m,f[10000000];    map<long long,int> mp;    long long  qsm(long long x)  //快速幂  {      long long sum=1; long long aa=a;       while (x>0)       {         if (x&1)          sum=(sum*aa)%c;         x=x>>1;         aa=(aa*aa)%c;       }      return sum;    }    int main()    {      mp.clear();       while (scanf("%lld%lld%lld",&c,&a,&b)!=EOF)       {       mp.clear();         if (a%c==0)   //判断a,c 是否互质，因为c 是质数，所以直接判断是否整除即可       {            printf("no solution\n");            continue;         }         int p=false;         m=ceil(sqrt(c));        long long ans;         for (int i=0;i<=m;i++)          {            if (i==0)            {              ans=b%c; mp[ans]=i; continue;            }           ans=(ans*a)%c;               mp[ans]=i;          }        long long t=qsm(m); ans=1;       for (int i=1;i<=m;i++)          {            ans=(ans*t)%c;            if (mp[ans])             {                int t=i*m-mp[ans];                printf("%d\n",(t%c+c)%c);                p=true;                break;             }          }         if (!p)           printf("no solution\n");       }    }    

来自这里

LL BSGS(LL y,LL z,LL p){    map<LL,LL> ma;    LL m=sqrt(p),tmp=0;    ma.clear();    if(y%p==0&&z==0) return 1;    if(y%p==0&&z!=0) return -1;    for(int i=0;i<=m;i++)    {        if(!i) {tmp=z%p;ma[tmp]=i;continue;}        tmp=(tmp*y)%p;        ma[tmp]=i;    }    tmp=1;LL t=power(y,m,p);    for(int i=1;i*i<=p;i++)    {        tmp=(tmp*t)%p;        if(ma[tmp])        {            LL ans=i*m-ma[tmp];            return ans;        }    }    return -1;}

SDOI2011 计算器

题目描述

你被要求设计一个计算器完成以下三项任务：
1、给定y、z、p，计算y^z mod p 的值；
2、给定y、z、p，计算满足xy ≡z(mod p)的最小非负整数x；
3、给定y、z、p，计算满足y^x ≡z(mod p)的最小非负整数x。
为了拿到奖品，全力以赴吧！

输入输出格式

输入格式：

输入文件calc.in 包含多组数据。
第一行包含两个正整数T、L，分别表示数据组数和询问类型（对于一个测试点内的所有数
据，询问类型相同）。
以下T 行每行包含三个正整数y、z、p，描述一个询问。

输出格式：

输出文件calc.out 包括T 行.
对于每个询问，输出一行答案。
对于询问类型2 和3，如果不存在满足条件的，则输出“Orz, I cannot find x!”。

输入输出样例

输入样例#1：

3 1
2 1 3
2 2 3
2 3 3

输出样例#1：

2
1
2

输入样例#2：

3 2
2 1 3
2 2 3
2 3 3

输出样例#2：

2
1
0

输入样例#3：

4 3
2 1 3
2 2 3
2 3 3
2 4 3

输出样例#3：

0
1
Orz, I cannot find x!
0

数据规模和约定

题解

这里有三种问法，第一种问法就直接是带模的快速幂，没啥好说的。
第二种问法就是求线性方程解，那就用扩展欧几里得！
第三种问法就是本文考虑的BSGS算法，也就是一个板子题目吧。怎么写板子前面已经介绍过了。

code