线性基——学习笔记

http://blog.csdn.net/qaq__qaq/article/details/53812883
https://blog.sengxian.com/algorithms/linear-basis
https://www.cnblogs.com/vb4896/p/6149022.html

一些线代前置知识

向量空间
定义 (F,V,+,⋅) 为向量空间（vector space），其中 F 为域，V 为向量的集合，+ 为向量加法，⋅ 为标量乘法。
大概就是一个定义了一系列运算的向量的集合。
线性无关：
若一个向量空间 v1λ1+v2λ2+...vnλn=0 无解，则该向量空间线性无关。
线性组合：
形如 v1λ1+v2λ2+...vnλn 的向量。
一组向量线性无关 ⇔ 其中没有向量可用其中的其他的若干向量的线性组合所表示。
张成：
所有线性组合构成的集合。
基：
若向量空间 V 中一个子集，既是线性无关的又可以张成 V，则称其为 V 的基。

设 B 是 V 的基，则：
- V 中所有的向量都可以按唯一的方式表达为 B 中向量的线性组合。
- B 的任何真子集都不能张成 V。
- B 是 V 中线性无关向量的极大集合。

通俗的说，基既线性无关，又能张成 V 。基如果变大，肯定还能张成 V，但就一定不是线性无关了。基如果变小，肯定还是线性无关，但就一定不能张成 V 了。

线性基

从线代角度来说，异或可看作模2下的加法，一个数转成二进制之后看做向量，线性基就是一个向量空间模2意义下的基。
先看一个重要性质：
取数集中的任意两个向量 a,b ,把 a 替换成 a xor b, 替换前后这个集合能异或出的数不变。
证明很显然，略过。这意味着，这种替换不会影响是否线性无关。从向量空间角度看，实际上就是把 v1 换成 v1−v2 ，显然没有什么影响。

那么已知一些数，如果通过上述变换，出现 0 ，那么一定线性相关。有了这个，我们就有了一个类似高斯消元的方法构造线性基，尽量消出 0 ，把 0 去掉就是线性基了。

大家所称的「线性基」一般都指这个方式得到的基。

大概这样：

bool Guess(int n){    int now=0;    for(int j=1<<30;j;j>>=1){        int where=0;         for(int i=now+1;i<=n;i++) if(a[i]&j){ where=i; break; }        if(!where) continue;        swap(a[++now],a[where]);        for(int i=1;i<=n;i++) if(i!=now&&(a[i]&j)) a[i]^=a[now];              }  return now!=n;}

根据构造可以得到线性基的一个基本性质：最高位为 i 的数至多 1 个，利用这个就能解决很多问题。

上面那样搞是 O(n∗60∗60) 的。其实可以换个写法，一个一个插入，维护线性基，记 b[i] 表示线性基中最高位为 i 的数。就是 O(n∗60) 了：

    for(int i=1;i<=n;i++){        for(int j=60;j>=0;j--) if((a[i]>>j)&1){            if(!b[j]){                b[j]=a[i];                for(int k=j-1;k>=0;k--) if(b[k]&&((b[j]>>k)&1)) b[j]^=b[k];                for(int k=j+1;k<=60;k++) if((b[k]>>j)&1) b[k]^=b[j];                break;            } else a[i]^=b[j];        }    }

中间两个 for 实际上不影响线性基的构造，是为了消成对角矩阵，不需要用到性质的时候可省略。
最后应该是形如这样的东西：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢1000001000110000001010010⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

主对角线下方都是 0 ，主对角线上的元素，若是 1 ，则同列都是 0，否则不一定。

线性基大概有这些性质：
1. 异或集合和原数集的异或集合相同
2. 线性基中若存在某数最高位为 i , 则其他数第 i 位都为 0 。（处理之后）
3. 最高位为 i 的数至多 1 个。
4. 线性无关，既不存在异或和为 0 的子集。
5. 若一个数在其异或集合中，则只有一种组合方式能异或得到它。（由线性无关得）