BZOJ 2321: [BeiJing2011集训]星器 脑洞

2321: [BeiJing2011集训]星器

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Description

Magic Land上的时间又过了若干世纪……

现在，人们谈论着一个传说：从前，他们的祖先来到了一个位于东方的岛屿，那里简直就是另外一个世界。善于分析与构造的Magic Land上的人们总是不明白那里的人们是如何不借助精确的实验与计算驱动和操纵魔法。

偶然地，一个魔法使（Magician）来到了Magic Land，在临走的时候留下了一个神奇的盒子，叫做星器（Casket of star）。

虽然不知道这个盒子是做什么的，但是经过了大量的实验和计算后，人们已经清楚它的一些事实：

1．星器之中有N×M个区域，可看作分成N行和M列的格子，每个区域之中有若干单位的称为“星”的对象，这个对象的最小单位已经被确定，所以，这个数量总是整数。

2．魔法使可以驱动星器中位于同一行或同一列的不相邻（有公共边的区域称为相邻的）两个区域中各1单位的“星”，使得它们分别向中心移动1格。

3．每一次使用2中的方法驱动“星”，将会产生魔力，魔法使会得到这一部分魔力。魔力的量等于这个两个区域之间所间隔的区域数。

这样，我们可以用一个N×M的数表来表示星器的状态，比如N=2，M=3时：

2

0

1

1

2

0

5

1

4

5

1

4

当星器为左图的状态时，通过操纵第一行的第1和3个区域中的“星”（加粗的数字对应的区域），变为右图所示的状态，同时，将产生1单位的魔力（因为这两个区域之间恰好隔了1个区域）。

在经过了进一步的研究之后，人们知道了这个星器最初的状态（Ini）以及最终被他们得到时的状态（Fin）。

你希望知道，星器最多帮助它的拥有者提供了多少的魔力。即：经过一系列上述操作由初态（Ini）变为终态（Fin），至多产生多少魔力。

需要注意的是，显然操作过程中每个区域内“星”的数量不能是负的，即：如果那个区域已经没有“星”了，当然就不能继续操作了。

Input

第一行包含两个正整数N、M表示星器的大小。

接下来的N行，每行包含M个自然数：Iniij，描绘了初态（Ini）。

在一个空行后的N行，每行包含M个自然数：Finij，描绘了终态（Fin）。

Output

输出一个正整数，表示至多产生的魔力。

Sample Input

【输入样例1】
5 5
1 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 1 1
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
2 0 0 0 1
0 0 2 0 0
0 0 0 0 0

【输入样例2】
1 4
10 20 30 40
0 0 100 0

Sample Output

【输出样例1】
7
【样例1解释】
唯一的一种操作方法是：
对第5列的两个“星”进行一次操作，产生魔力2；
对第1列的两个“星”进行两次操作，产生魔力3+1；
对第4行的两个“星”进行一次操作，产生魔力1；
一共产生7单位的魔力。
【输出样例2】
50

HINT

【数据规模和约定】
40%的数据中N ≤ 2，如样例2；

100%的数据中1 ≤ N，M ≤ 200，Iniij，Finij ≤ 1000。

所有数据保证了至少存在一个操作方法使得星器由初态变为终态，同时保证了初态与终态不是完全相同的。

这是一篇转载的原创blog

经文章撰写者neither_nor允许，将它在BJ的blog公开

先考虑一维的情况
观察一些性质（瞎jb猜猜结论）
首先我们猜想，一定存在一种最优的操作序列，使得星与星之间的相对顺序不变
不难通过调整法证明
证明的同时，我们也可以把每一个发生了相对顺序改变的操作序列都与一个没有发生改变的序列对应（多对一）
然后我们证明，对于所有没有发生相对顺序改变的操作序列，所获得的魔法能一样
因为相对顺序不改变，所以可以把初态和终态里的星一一对应，把魔法的获得拆成流失了向右走的星的坐标的魔法和获得了向左走的星的坐标的魔法，就可以证明了
因为发生相对顺序改变的操作序列都与不改变的对应，我们就证明了给定初态和终态，所能获得的魔法能是一定的（路径无关）
既然证明了路径无关，我们就可以给状态定义势能，然后求出初态和终态的势能差，就能得出答案
一个系统的势能等于系统内各个物体的势能的代数和
物体的状态只有一个，就是位置
为了定义势能，我们需要一个零势面，这里我们选择坐标0作为零势面
一个物体的势能数值上等于他在保守力场作用下移动到零势面时力场所做的功
那么我们假设在-1处有一个星，并且这个星在被操作的时候不会移动
那么坐标i的星的势能就是i*(i+1)/2
不难验证这样算出来的答案是正确的
可以简单地推广到二维情况，处于(i,j)的星的势能是(i*(i+1)+j*(j+1))/2
不难验证也是对的
其实这题比较玄学……
网上题解都是用i^2+j^2作为势能函数，不过我并不能想出这个函数的合理性在哪
之前我按照每两个星之间有一个势能推了一发，推出一个式子过了，但是后来我发现我那个式子其实在两颗星之间的距离奇偶性发生改变之后就会出问题……

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