AVL树的基本操作

AvlTree的各种操作

AVL树是带有平衡条件的二叉查找树，要满足树中的每个节点的左子树和右子树的高度最多相差1。

• 插入操作
  要使插入后生成的树为AVL树，就必须每插入一个节点，就判断一下左右子树的高度差是不是大于1，因此我们要记录每个节点的高度(这儿高的定义是一棵树ni的高是从ni到一片树叶的最长路径的长，空树的高度为-1树叶的高度为0）。

typedef struct AvlNode *AvlTree;struct AvlTree{    int x;    AvlTree Left;    AvlTree Right;    int Height;   //要记录高度};AvlTree Insert(int X,AvlTree T);

关键是插入后的判断，用T->Left->Height - T->Right->Height==2来判断左右子树的高度差是不对的，因为由于T的左右子树可能为NULL，因此要在用个计算节点高度的函数，对为NULL的情况讨论一下。

int Height(Position P){    if (P == NULL) {        return -1;      //这儿空树的高度为-1     }else {        return P->Height;    }}

AvlTree Insert(int X, AvlTree T){    if (T == NULL){        T = (AvlTree) malloc (sizeof(struct AvlNode));        T->x = X;        T->Left = NULL;        T->Right = NULL;        T->Height = 0;       }else if (T->x > X){        T->Left = Insert(X,T->Left);        if ( Height(T->Left) - Height(T->Right) == 2){            if ( X < T->Left->x ){                T = SingleRotateWithLeft(T);                }else{                T = DoubleRotateWithLeft(T);            }        }    }else if ( T->x < X){        T->Right = Insert(X, T->Right);        if ( Height(T->Right) - Height(T->Left) == 2 ){            if (X > T->Right->x){                T = SingleRotateWithRight(T);            }else{                T = DoubleRotateWithRight(T);            }        }    }    T->Height = Max(Height(T->Left),Height(T->Right))+1;            return T; //不要忘记更新高度和返回T}

接下来便是最关键的单旋转和双旋转操作，就像上面那样，即使判断出了高度差大于1了，那该怎么做使这个节点满足AVL树的性质呢？

• 单旋转
  先考虑第一种情况，对节点k2的左儿子的 左子树 进行插入，使节点k2的左子树的高度k2右子树的高度高了2。
  左边是最简单的情况，当然了，k2也可能有右子树，k1也可能有右子树，所以都可以归结为中间那个图的情况，X Y Z是子树，Y和Z可能为空树，但不管怎样，k2的左子树一定比右子树高2.
  因此可以把k2这个节点降一层，k1这个节点升高一层，并改变一下Y的位置，就得到了最右边的图，这个过程就是SingleRotateWithLeft(T)。
  

Position SingleRotateWithLeft(Position K2){    Position K1;    K1=K2->Left;           //要将K1的位置记录下来      K2->Left=K1->Right;    K1->Right=K2;              /*不要忘记更新节点的高度*/    K2->Height=Max( Height( K2->Left), Height(K2->Right)) +1;    K1->Height=Max( Height( K1->Left), Height(K1->Right)) +1;     //注意先更新K2，然后再更新 K1 ，因为 K1的高度得到与 K2有关     return K1;   //返回新的根     }

若对k2的右儿子的右子树进行插入，会出现下图所示的不平衡

可以看出，这种情况是与前一种对称的，所以有类似的过程：

Position SingleRotateWithRight(Position K2){    Position K1;    K1=K2->Right;    K2->Right=K1->Left;    K1->Left=K2;    K2->Height=Max( Height( K2->Left), Height(K2->Right)) +1;    K1->Height=Max( Height( K1->Left), Height(K1->Right)) +1;     return K1; } 

• 双旋转
  现在还剩下两种情况，插入的元素比k2的右子树k1的值要小或者比K2的左子树K1的值要大。显然这两种情况也是对称的，考虑左边的情况。
  
  若还是对K2进行单旋转，即让K1成为新的根，又会变成类似右图的那种情况，X还是太深（K1上升1层，K2下降一层，X的层数还是没变）不满足AVL树的条件。必须找到新的能作为新的根的节点。
  
  由于有一个节点插入了子树X，因此X非空，所以通过变换可以让K3成为新的根。对于变换，只需要进行两次旋转即可。第一次对K1单旋转使K1降一层，K3升一层，第二次对K2进行单旋转，让K2也降了一层，使K3成为新的根。
  

Position DoubleRotateWithLeft(Position K2){    K2->Left = SingleRotateWithRight(K2->Left);    return SingleRotateWithLeft(K2);}Position DoubleRotateWithRight(Position K2){    K2->Right = SingleRotateWithLeft(K2->Right);    return SingleRotateWithRight(K2);}

• 删除操作
  下面来考虑删除操作，对于一个Avl树，节点的删除一般是下面三种情况A（树叶），B（只有一边的子树），C（左子树和右子树都有）。想一想可知，对于AB类型的正常删除即可，删除后仍然满足平衡树的性质。而对于C的情况，每一次执行删除操作后，只需判断一下是否（Height(T->Left) - Height(T->Right) == 2)即可，是的话执行相应的旋转即可。
  

AvlTree Delete(int X, AvlTree T){    if(T==NULL){        return NULL;    }else if (T->x > X){        T->Left=Delete(X, T->Left);    }else if (T->x < X){        T->Right=Delete(X, T->Right);    }else {        if (T->Left!=NULL && T->Right!=NULL){            AvlTree temp=FindMin(T->Right);            T->x=temp->x;            T->Right=Delete(T->x, T->Right);            //删除后如果破坏了平衡便做相应的旋转            if(Height(T->Left) - Height(T->Right) == 2){                if (Height(T->Left->Left) > Height(T->Left->Right)){                    T = SingleRotateWithLeft(T);                }else{                    T = DoubleRotateWithLeft(T);                    }            }         }else {   //正常的删除操作            AvlTree temp=T;            if (T->Left==NULL){                T = T->Right;            }else if (T->Right==NULL){                T = T->Left;            }            free(temp);        }       }     if (T!=NULL)  T->Height = Max(Height(T->Left), Height(T->Right)) + 1;  //不是树叶被删除的话要更新一下高度    return T;}