动态规划---最大子段和，最大子矩阵和，最大m子段和

  1、最大子段和问题

     问题定义：对于给定序列a1,a2,a3……an,寻找它的某个连续子段，使得其和最大。如( -2,11,-4,13,-5,-2 )最大子段是{ 11,-4,13 }其和为20。

     (1)枚举法求解

     枚举法思路如下：

     以a[0]开始: {a[0]}, {a[0],a[1]},{a[0],a[1],a[2]}……{a[0],a[1],……a[n]}共n个

     以a[1]开始: {a[1]}, {a[1],a[2]},{a[1],a[2],a[3]}……{a[1],a[2],……a[n]}共n-1个

     ……

     以a[n]开始:{a[n]}共1个

     一共(n+1)*n/2个连续子段，使用枚举，那么应该可以得到以下算法：
     具体代码如下：

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <fstream>#include <string.h>using namespace std;int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);int main(){    int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};    for(int i=0; i<6; i++)        cout<<a[i]<<" ";    int besti,bestj;    cout<<endl;    cout<<"数组a的最大连续子段和为：a["<<besti<<":"<<bestj<<"]:"<<MaxSum(6,a,besti,bestj)<<endl;    return 0;}int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj){    int sum = 0;    for(int i=0; i<n; i++)//控制求和起始项    {        for(int j=i; j<n; j++)//控制求和结束项        {            int thissum = 0;            for(int k=i; k<=j; k++)//求和                thissum += a[k];            if(thissum>sum)//求最大子段和            {                sum = thissum;                besti = i;                bestj = j;            }        }    }    return sum;}

 从这个算法的三个for循环可以看出，它所需要的计算时间是O(n^3)。事实上，如果注意到，则可将算法中的最后一个for循环省去，避免重复计算，从而使算法得以改进。改进后的代码如下：

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <fstream>#include <string.h>using namespace std;int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);    int main()  {      int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};        for(int i=0; i<6; i++)           cout<<a[i]<<" ";        int besti,bestj;        cout<<endl;      cout<<"数组a的最大连续子段和为：a["<<besti<<":"<<bestj<<"]:"<<MaxSum(6,a,besti,bestj)<<endl;        return 0;  }    int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj)  {         int sum = 0;      for(int i=0; i<n; i++)//控制求和起始项      {          int thissum = 0;          for(int j=i; j<=n; j++)//控制求和结束项          {              thissum += a[j];//求和              if(thissum>sum)              {                  sum = thissum;                  besti = i;                  bestj = j;              }                        }      }      return sum;  } 

 (2)分治法求解

       分治法思路如下：

    将序列a[1:n]分成长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分别求出这两段的最大字段和，则a[1:n]的最大子段和有三中情形：

    [1]、a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同； 
    [2]、a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同；

    [3]、a[1:n]的最大字段和为，且1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n。

    可用递归方法求得情形[1],[2]。对于情形[3],可以看出a[n/2]与a[n/2+1]在最优子序列中。因此可以在a[1:n/2]中计算出，并在a[n/2+1:n]中计算出。则s1+s2即为出现情形[3]时的最优值。

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <fstream>#include <string.h>using namespace std;int MaxSubSum(int *a,int left,int right);int MaxSum(int n,int *a);int main(){    int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};    for(int i=0; i<6; i++)    {        cout<<a[i]<<" ";    }    cout<<endl;    cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(6,a)<<endl;    return 0;}int MaxSubSum(int *a,int left,int right){    int sum = 0;    if(left == right)    {        sum = a[left]>0?a[left]:0;    }    else    {        int center = (left+right)/2;        int leftsum = MaxSubSum(a,left,center);        int rightsum = MaxSubSum(a,center+1,right);        int s1 = 0;        int lefts = 0;        for(int i=center; i>=left;i--)        {            lefts += a[i];            if(lefts>s1)            {                s1=lefts;            }        }        int s2 = 0;        int rights = 0;        for(int i=center+1; i<=right;i++)        {            rights += a[i];            if(rights>s2)            {                s2=rights;            }        }        sum = s1+s2;        if(sum<leftsum)        {            sum = leftsum;        }        if(sum<rightsum)        {            sum = rightsum;        }    }    return sum;}int MaxSum(int n,int *a){    return MaxSubSum(a,0,n-1);}

  算法所需的计算时间T(n)满足一下递归式：

     解此递归方程可知：T(n)=O(nlogn)。

 

(3)动态规划算法求解 

算法思路如下：

    记，则所求的最大子段和为：

    由b[j]的定义知，当b[j-1]>0时，b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。由此可得b[j]的动态规划递推式如下：

     b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},1<=j<=n。

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <fstream>#include <string.h>using namespace std;int MaxSum(int n,int *a);int main(){    int a[]={-2,11,-4,13,-5,-2};    for(int i=0; i<6; i++)    {        cout<<a[i]<<" ";    }    cout<<endl;    cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(6,a)<<endl;    return 0;}int MaxSum(int n,int *a){    int sum=0,b=0;    for(int i=0;i<n;i++)    {        if(b>0) b+=a[i];        else b=a[i];        if(b>sum)            sum=b;    }    return sum;}

上述算法的时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。

 2、最大子矩阵和问题
      (1)问题描述：给定一个m行n列的整数矩阵A，试求A的一个子矩阵，时期各元素之和为最大。

     (2)问题分析：

      用二维数组a[1:m][1:n]表示给定的m行n列的整数矩阵。子数组a[i1:i2][j1:j2]表示左上角和右下角行列坐标分别为(i1,j1)和(i2,j2)的子矩阵，其各元素之和记为：

      最大子矩阵问题的最优值为。如果用直接枚举的方法解最大子矩阵和问题，需要O(m^2n^2)时间。注意到，式中，，设，则

容易看出，这正是一维情形的最大子段和问题。因此，借助最大子段和问题的动态规划算法MaxSum，可设计出最大子矩阵和动态规划算法如下:

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <fstream>#include <string.h>using namespace std;const int M=4;const int N=3;int MaxSum(int n,int *a);int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N]);int main(){    int a[][N] = {{4,2,9},{1,3,8},{-3,-1,6},{0,-9,-5}};    for(int i=0; i<M; i++)    {        for(int j=0; j<N; j++)        {            cout<<a[i][j]<<" ";        }        cout<<endl;    }    cout<<endl;    cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum2(M,N,a)<<endl;    return 0;}int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N]){    int sum = 0;    int *b = new int[n];    for(int i=0; i<m; i++)//枚举行    {        for(int k=0; k<n;k++)            b[k]=0;        for(int j=i;j<m;j++)//枚举初始行i,结束行j        {            for(int k=0; k<n; k++)            {                b[k] += a[j][k];//b[k]为纵向列之和                int max = MaxSum(n,b);                if(max>sum)                {                    sum = max;                }            }        }    }    return sum;}int MaxSum(int n,int *a){    int sum1=0,b=0;    for(int i=0; i<n; i++)    {        if(b>0)        {            b+=a[i];        }        else        {            b=a[i];        }        if(b>sum1)        {            sum1 = b;        }    }    return sum1;}

  以上代码MaxSum2方法的执行过程可用下图表示：

3、最大m子段和问题

     (1)问题描述：给定由n个整数(可能为负数)组成的序列a1,a2,a3……an,以及一个正整数m,要求确定此序列的m个不相交子段的总和达到最大。最大子段和问题是最大m字段和问题当m=1时的特殊情形。

     (2)问题分析：设b(i,j)表示数组a的前j项中i个子段和的最大值，且第i个子段含a[j](1<=i<=m,i<=j<=n),则所求的最优值显然为。与最大子段问题相似，计算b(i,j)的递归式为：

     其中，表示第i个子段含a[j-1],而项表示第i个子段仅含a[j]。初始时，b(0,j)=0,(1<=j<=n);b(i,0)=0,(1<=i<=m)。

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <fstream>#include <string.h>using namespace std;int MaxSum(int m,int n,int *a);int main(){    int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//数组脚标从1开始    for(int i=1; i<=6; i++)        cout<<a[i]<<" ";    cout<<endl;    cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(3,6,a)<<endl;    }int MaxSum(int m,int n,int *a){    if(n<m || m<1)        return 0;    int **b = new int *[m+1];    for(int i=0; i<=m; i++)  //b[m+1][n+1]        b[i] = new int[n+1];    for(int i=0; i<=m; i++)        b[i][0] = 0;    for(int j=1;j<=n; j++)        b[0][j] = 0;    //枚举子段数目，从1开始，迭代到m，递推出b[i][j]的值    for(int i=1; i<=m; i++)    {        //n-m+i限制避免多余运算，当i=m时，j最大为n，可据此递推所有情形        for(int j=i; j<=n-m+i; j++)        {            if(j>i)            {                b[i][j] = b[i][j-1] + a[j];//代表a[j]同a[j-1]一起，都在最后一子段中                for(int k=i-1; k<j; k++)                {                    if(b[i][j]<b[i-1][k]+a[j])                        b[i][j] = b[i-1][k]+a[j];//代表最后一子段仅包含a[j]                }            }            else                b[i][j] = b[i-1][j-1]+a[j];//当i=j时，每一项为一子段        }    }    int sum = 0;    for(int j=m; j<=n; j++)    {        if(sum<b[m][j])            sum = b[m][j];    }    return sum;}

下面看图，红色数字为输入的序列：

要求b[ 3 ][ 6 ]，只需比较他左边的那个，和上面那一行圈起来的之中最大的数，再加上a[ j ] 即为b[ 3 ][ 6 ] 的值。

优化一下：

1、沿着第m行的最后一个元素，往左上方向画一条线，线右上方的元素是没必要计算的

那么b[ i ][ j ] ，j++的时候，j的上限为 i + n - m 即可。

还有左下角那一半矩阵，也是不用计算的，因为1个数字不可能分为2个子段

2、每确定一个b[ i ][ j ]，只需用到本行和上一行，所以不用开维数组也可以，省内存。

开两个一维数组，pre和dp，pre记录上一行，dp记录当前行

3、再对上一行红圈中的数字找最大值时，若用一个循环来找，容易超时。

优化方法：在每次计算dp之前，同时记录下j前面的最大元素。

上述算法时间复杂度为O(m(n-m))，空间复杂度为O(n)。当m或n-m为常数时，时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <fstream>#include <string.h>using namespace std;int max(int a,int b){    return a>b?a:b;}int MaxSum(int m,int n,int *a);int main(){    int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//数组脚标从1开始    int maxx=MaxSum(3,6,a);    printf("%d\n",maxx);    return 0;}int MaxSum(int m,int n,int *a){    if(n<m || m<1) return 0;    int *dp = new int[n+1]();//一维数组dp[0,1...n]    int *pre = new int[n+1]();    for(int i=1;i<=m;i++)//分为i段        {            dp[i]=pre[i-1]+a[i];//先假设为左上角那个元素为最优值            int maxpre=pre[i-1]; //maxpre记录上一行的最大值            for(int j=i;j<=n-m+i;j++)            {                dp[j]=max(dp[j-1],maxpre)+a[j];//对情况1、2的选择                if(maxpre<pre[j])                    maxpre=pre[j];                pre[j]=dp[j];//别忘了这一步，顺便把这一行给pre            }        }        int maxx=0;        for(int i=m;i<=n;i++)//找到第m行的最大值，即为答案            if(maxx<dp[i])                maxx=dp[i];    return maxx;}