最大子段和 最大子矩阵

最大和

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难度：5

描述

给定一个由整数组成二维矩阵（r*c），现在需要找出它的一个子矩阵，使得这个子矩阵内的所有元素之和最大，并把这个子矩阵称为最大子矩阵。 
例子：
0 -2 -7 0 
9 2 -6 2 
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2 
其最大子矩阵为：

9 2 
-4 1 
-1 8 
其元素总和为15。 

输入

第一行输入一个整数n（0<n<=100）,表示有n组测试数据；
每组测试数据：
第一行有两个的整数r，c（0<r,c<=100），r、c分别代表矩阵的行和列；
随后有r行，每行有c个整数；

输出

输出矩阵的最大子矩阵的元素之和。

样例输入

14 40 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2 

样例输出

15

来源

[苗栋栋]原创

思路：

  首先，这个子矩阵可以是任意大小的，而且起始点也可以在任何地方，所以，要把最大子矩阵找出来，我们要考虑多种情况。

  假定原始矩阵的行数为M，那么对于子矩阵，它的行数可以是1到M的任何一个数，而且，对于一个K行（K < M）的子矩阵，它的第一行可以是原始矩阵的第1行到 M - K + 1 的任意一行。

在讲在一个特殊情况下求最大子矩阵之前，先讲一个事实：

假设这个最大子矩阵的维数是一维，要找出最大子矩阵, 原理与求“最大子段和问题” 是一样的。最大子段和问题的递推公式是 b[j]=max{b[j-1]+a[j], a[j]}，b[j] 指的是从0开始到j的最大子段和。

    为了找出在原始矩阵里的最大子矩阵，我们要遍历所有的子矩阵的可能情况，也就是说，我们要考虑这个子矩阵有可能只有1行，2行，。。。到n行。而在每一种情况下，我们都要把它所对应的矩阵部分上下相加才求最大子矩阵（局部）。

比如，假设子矩阵是一个3*k的矩阵，而且，它的一行是原始矩阵的第二行，那么，我们就要在

 9  2 -6  2
-4  1 -4  1
-1  8  0 -2 

里找最大的子矩阵。

如果把它上下相加，我们就变成了 4, 11, -10,1， 从这个数列里可以看出，在这种情况下，最大子矩阵是一个3*2的矩阵，最大和是15.

为了能够在原始矩阵里很快得到从 i 行到 j 行 的上下值之和，我们这里用到了一个辅助矩阵，它是原始矩阵从上到下加下来的。

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;#define N 105int maxsum(int n,int a[N]){int sum=a[0],b=a[0],i;for(i=1;i<n;++i){if(b>0)b+=a[i];elseb=a[i];if(b>sum)sum=b;}return sum;}int maxsum1(int m,int n,int a[N][N]){int sum1=-999999999;int b[N];int i,j,k;for(i=0;i<m;++i){memset(b,0,sizeof(b));for(j=i;j<m;++j){for(k=0;k<n;++k)b[k]+=a[j][k];int max=maxsum(n,b);if(max>sum1)sum1=max;}}return sum1;}int main(){int n,a[N][N];cin>>n;while(n--){int r,c;cin>>r>>c;for(int i=0;i<r;++i)for(int j=0;j<c;++j)cin>>a[i][j];cout<<maxsum1(r,c,a)<<endl;}}